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in cui si è posto 



(6) X(xy) = M.,(xy) — fi f M,(a*) &Ks>{sya) dz . 



Jy 



Dunque, la (1) è stata ricondotta, almeno formalmente per ora. ad 

 un'equazione di Fredholm di seconda specie, -mediante la soluzione d'una 

 di seconda specie di Volterra. 



Intanto, dalle (3), (4) si vede che, nel caso regolare, data la g>, la ìp 

 esiste ed è unica; che, data la ip , anche la y> esiste ed è unica; se una 

 di esse è integrabile, lo è anche l'altra. Quindi il risultato ottenuto è valido. 



2. Discutiamo adesso questa soluzione così ottenuta: 



a) X non sia auto valor e della (5). Allora, per la teoria del Fredholm, 

 la xp esiste ed è unica ; e dalla (4), forinola di soluzione della (3), si ri- 

 cava subito la <p ; e si vede che anche essa è unica. Se f(x) = 0, si avrà 

 ip(x) = 0 e, quindi, g>(x) = 0. 



b) X sia autovalore della (5), ed f{x) = 0. Per la teoria del Fred- 

 holm, se A è radice di multiplicità r, vi saranno per la tp, al più, r valori 

 linearmente indipendenti : sieno essi q. Per le equazioni (4) che legano la 

 <jp e la ip, si deducono q soluzioni per la g>. Queste saranno anche esse 

 linearmente indipendenti. Infatti, ove ciò non fosse, si dovrebbe avere: 



#i<Pi + - |-«p9>p = 0; 



per la (3), si avrebbe poi : 



ipi = g>i(x) -M f M(xy) <fi{y) dy ; (i = 1 , 2 , ... , q) 



^ 0 



da cui: 



2 ai ipi = 2 ai<fi-\- X M(xy) 2 ai (f i (y) dy ; 



Jo 



ovvero, tenuto conto della relazione che intercede fra le y, si avrebbe 



2a(ipi==0: 



il che non è. 



c) X sia autovalore della (6) ed f(x) =j= 0. È ovvio che, se v' è una 

 soluzione, ve ne saranno infinite, differenti fra loro per soluzioni dell'equa- 

 zione omogenea corrispondente. 



Ora, sempre per la teoria del Fredholm, condizione necessaria e suffi- 

 ciente affinchè la (5) ammetta soluzioni, è che la / soddisfi a certe condi- 

 zioni di ortogonalità. Se queste sono soddisfatte, vi sarà una soluzione xp 

 della (5), da cui si deduce poi la y>. 



Ecco discusse le equazioni miste, in base alle teorie del Volterra e di 

 Fredholm. 



