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3. Si può anche discutere e studiare la (1), servendosi d'un altro pro- 

 cedimento. Poniamo ,u = 2; il che si può sempre fare, senza ledere la ge- 



• jBeM fa)' 



neralità, ponendo, ad es., M = — M'; poniamo inoltre: 



fi 



firì^Mv)) f—Mx)) f = fzix) ) - 



Introduciamo poi una funzione W(xy) così definita: 

 W(xy) = M.(xy) y^isc" 



W(xy) - 0 



0 ^= x .< 1 . 



È evidente che con tali posizioni la (1) si scindè nelle tre seguenti: 



(7) 9l (x) - X f °M(^) ?M dy + X C^xy) 9ì {y) dy = fax) x < 0 , 



(8) <pz(x) + X f'iWixy) -f Mi (^2/)] rfy = 0 < a; < 1 , 



■r'o 



(9) 9i (x) + xf"u(xy)<p 3 (y)dy 



+ A ( '[M(^) + M^y)] = f*{x) l<x. 



Subito si noterà che, mentre la 9ì figura ovunque, la 9l figura solo 

 nella (7), e la g> 3 solo nella (9). Quindi converrà risolvere prima la (8). 

 Essa non è altro che un'equazione di Fredholm, regolare, di seconda specie- 

 Chiamando N la somma di W ed M, , essa si scrive: 



(f 2 {x) -f X f ìì(xy) <pt{y) f z {x) . 



Ora, al solito, vi sono tre casi: 



a) X non è autovalore. Allora la <p 2 esiste, è unica ed è data da: 



<p 2 (x)]= f z (x) — X 



D(X) 



ft(y) dy- 



La y>i e la g> 2 ci sono fornite allora dalle equazioni regolari di Vol- 

 terra, ricavate da (7) e (9): 



(10) 9l {x) — X f ° M(xy) sp,(y) dy 



J oc 



= [ViO») — xj^ M^xy) cp 2 (y) d/J x < 0 , 



(11) g> 3 {x) + xj* M(xy) <p 3 {y) dy 



= [/»(*) - *>f\u(xy) + U&y)-] sp 8 (y) dy] x>l. 



