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V. Le equazioni integrali mute di seconda specie, si riducono 

 alla soluzione successiva d'una integrale di Volterra o d'una di Fredholm, 

 di seconda specie. 



VI. Quelle di prima specie, ad equazioni di prima specie. 

 Quindi, tutta la discussione delle integro -differenziali si può ricondurre, 



in modo semplice ed uniforme, alle teorie di Volterra e Fredholm. 



Vi sarà quindi da attendersi l'esistenza di autovalori e di tutte le 

 singolarità inerenti a tal caso; tratteremo in seguito qualche esempio. 



Così, subito si vede che: 



VII. Le integro-differenziali tipo Volterra di primo e secondo ge- 

 nere sono sempre risolubili con sviluppi tipo Volterra. 



Vili. Quelle dello stesso tipo, ma di terzo genere, sono soggette, 

 per la risolubilità, a condizioni derivanti da quelle di risolubilità delle 

 equazioni di Volterra di prima specie. 



Infine, se supponiamo di dover trattare una integro-differenziale lineare 

 del Volterra, i cui nuclei sieno del tipo F(xy): se cioè ci troviamo di fronte 

 ad un problema ereditario (in cui la legge d'ereditarietà sia invariante at- 

 traverso il tempo), per quanto precede si vede che la sua riduzione ad 

 equazione integrale di Volterra è esclusivamente operata con la composi- 

 zione dei nuclei dati con le potenze {x — s) a . 



E ricordando (') che la composizione (secondo Volterra) di nuclei del 

 ciclo chiuso (cioè funzioni di x — s) dà ancora nuclei dello stesso tipo, si 

 può enunciare il teorema: 



IX. Ogni equazione lineare integro-differenziale di Volterra, i cui 

 nuclei sieno del tipo F(x — s), è riducibile ad un equazione integrale di 

 Volterra il cui nucleo è dello stesso tipo. 



Ovvero, in altre parole : 



Le integro-differenziali lineari del ciclo chiuso si riducono ad 

 equazioni integrali del ciclo chiuso. 



E se l'equazione cui si giunge, è di seconda specie, si può subito 

 dire che : 



X. La soluzione delle integro-differenziali del ciclo chiuso si 

 effettua con operazioni dello stesso ciclo. 



( J ) Volterra, Lecons sur les éq. int. ed int.-diff., pp. 52 ecc.; 148; 150 ecc. 



Matematica. — Forma geometrica delle condizioni per la 

 deformabilità delle ipersuperficie. Nota del dott. E. Bompiani, pre- 

 sentata dal Corrispondente Q. Oastelnuovo. 



Questa Nota sarà pubblicata nel prossimo fascicolo. 



