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Geometria. — Sulla equivalenza per traslazione. Nota del 

 prof. G. Tacca, presentata dal Socio V. Volterra. 



Grazie ad alcune osservazioni del prof. Eugenio Elia Levi, posso esporre 

 per una via più semplice e più breve gli stessi risultati contenuti nella 

 Nota del 9 novembre 1913 (voi. XXII, pag. 417), e togliere la condizione 

 restrittiva che allora era occorsa nelle dimostrazioni. 



Aggiungerò in fine la estensione ai poliedri della equivalenza per tras- 

 lazione, chiamando, per brevità, equivalenti per traslazione due poligoni 

 rettilinei in uno stesso piano, ovvero due poliedri rispettivamente, quando 

 si possono decomporre in un numero finito di poligoni, ovvero di poliedri, 

 parziali, sovrapponibili per traslazione. 



1. Dato un insieme di vettori, si può considerare una nuova specie di 

 somma, che chiameremo somma orientata dell'insieme. Essa coincide con 

 la somma ordinaria, soltanto se i vettori considerati hanno la stessa dire- 

 zione, ma se non l'hanno, la somma orientata dei vettori è il complesso dei 

 vettori che si ottengono, dopo aver eseguito tutte le possibili somme di 

 vettori aventi la stessa direzione, ed appartenenti all'insieme considerato. 



L'operazione di somma orientata, eseguita sopra un insieme di vettori, 

 riproduce quindi un insieme di vettori (che può ridursi talvolta ad un vet- 

 tore unico, od anche essere nulla). 



2. Si ha allora il teorema ( J ): 



Perchè due dati poligoni di egual area, nello stesso piano, siano 

 decomponibili in un numero finito di parti eguali per traslazione* è ne- 

 cessario che sia eguale la somma orientata dei vettori dei lati dei due 

 poligoni, quando questi lati siano immaginati percorsi nello stesso senso. 



Infatti, immaginata possibile, ed eseguita, la decomposizione dei due 

 poligoni dati, ed immaginati tutti i contorni dei poligoni parziali, percorsi 

 nello stesso senso, in ognuna delle due decomposizioni, sarà nulla la somma 

 dei vettori dei lati interni ai due poligoni dati, poiché ogni lato di un 

 poligono parziale è percorso in due versi opposti, secondo che lo si consi- 

 deri come appartenente all'uno o all'altro dei due poligoni parziali adiacenti. 

 Quindi la somma orientata dei vettori di tutti i lati di tutti i poligoni 

 parziali (immaginati tutti percorsi nello stesso senso per ogni poligono), in 

 ciascuna delle due decomposizioni, si riduce a quella dei vettori dei lati 

 dei due poligoni dati; c. v. d. 



3. Quindi è possibile, applicando questo teorema, decomporre due pa- 

 rallelogrammi equivalenti in un numero finito di parti eguali per traslazione, 



('ì È questo il teorema comunicatomi, sotto altra forma, dal prof. Levi. 



