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perchè la somma orientata dei vettori dei lati di qualsivoglia parallelo- 

 grammo è nulla. 



È invece impossibile il decomporre in tal modo un triangolo ed il suo 

 simmetrico rispetto al vertice, perchè, immaginandoli entrambi percorsi nello 

 stesso verso, la somma orientata dei vettori dei lati dell'uno non è nulla, 

 ed è essenzialmente diversa (anzi l'opposta) da quella dell'altro ( 1 ). 



4. Possiamo ora estendere allo spazio queste considerazioni, osservando 

 che ai lati di un poligono corrispondono, in certo modo, le faccie di un 

 poliedro. 



Converrà dapprima, dato un poliedro, distinguere per ogni sua faccia 

 il verso, che sarà quello della normale interna al poliedro, ed attribuire poi 

 ad ogni faccia un segno, in modo tale che due faccie parallele, ma di verso 

 opposto, abbiano segno contrario. Ciò può farsi ad arbitrio. Per fissar le 

 idee, supporremo positive le faccie tali che la loro normale interna faccia un 

 angolo acuto con una direzione fissa; negative quelle che fanno un angolo 

 ottuso, ecc. 



Potremo allora considerare un certo ente, che chiameremo somma orien- 

 tata delle faccie di uno o più poliedri, il quale coincide coll'insieme delle 

 faccie stesse, col loro segno, quando nell'insieme non vi siano faccie paral- 

 lele. Ma quando esso contiene più faccie parallele, ad esse sostituiremo un 

 poligono avente la stessa giacitura ed avente per area la somma algebrica 

 delle aree delle faccie parallele, considerate col loro segno. 



Così, ad esempio, la somma orientata delle faccie di un parallelepipedo 

 è sempre nulla. 



5. Abbiamo allora il teorema: 



Condizione necessaria affinchè due poliedri di egual volume siano 

 decomponìbili in poliedri parziali eguali per traslazione, è che sia eguale 

 la somma orientata delle loro faccie. 



Infatti, immaginata possibile, ed eseguita, in ciascuno dei due poliedri, 

 la decomposizione in poliedri parziali, la somma orientata di tutte le faccie 

 di tutti i poliedri parziali, in ciascuno dei due poliedri dati, si riduce a 

 quella delle faccie del poliedro totale, essendo nulla quella delle faccie (o 

 parti di faccie) comuni a due poliedri parziali adiacenti, c. v. d. 



Applicando questo teorema, si vede che, mentre è possibile di decom- 

 porre in un numero finito di parti eguali per traslazione due parallelepi- 

 pedi, è invece impossibile di far ciò per due piramidi simmetriche rispetto 

 alla base ; ecc. 



(') Con lo stesso metodo il prof. Levi ha altresì osservato che due pentagoni sim- 

 metrici non sono equivalenti per traslazione, ecc. 



