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Matematica — Su alcune equazioni integrali di Volterra 

 risolubili con un numero finito di derivazioni e di integrazioni. 

 Nota del Corrisp. 0. Tedone. 



1. In due Note precedenti ( 1 ), sull'equazione delle onde smorzate, ho 

 messo in luce due relazioni integrali fra le funzioni di Bessel, che mi sono 

 parse notevoli. La maniera però con la quale queste relazioni, in quelle 

 Note, sono state dimostrate, non è quella con la quale ad esse sono perve- 

 nuto. Della loro esistenza ero da lungo tempo convinto, basandomi, princi- 

 palmente, sulla risolubilità, alla quale fermamente credevo, del problema 

 che poi, effettivamente, ho risoluto nella prima delle due Note citate. E solo 

 in seguito a molti tentativi sono riuscito a costruire un procedimento che 

 è capace di fornire molte relazioni analoghe a quelle di cui parliamo e che 

 spesso sono adatte alla risoluzione di determinate equazioni integrali del 

 tipo di Volterra. La descrizione di questo procedimento, in un caso speciale, 

 e l' indicazione delle equazioni integrali che di conseguenza si riesce a ri- 

 solvere, saran l'oggetto della presente Nota. 

 2. Ricordiamo che l'equazione 



... ~ò*u 



(1) :- j + u = 0 



si integra completamente col metodo delle caratteristiche di Riemann ( 2 ), 

 e che la soluzione fondamentale della (1) relativa al punto (x 0 , y 0 ) (vogliam 

 dire la soluzione della (1) regolare in un intorno di (cc 0 , y 0 ) e che acquista 

 il valore uno sulle due caratteristiche uscenti dal punto stesso) è 



(2) l 0 (.) = J 0 (^/-l)=y i 2Ì- 7 ^ , *==l/(y-yo) a -(z-*o) 2 • 



Si tratti ora di costruire il più generale integrale della (1) nel campo t 

 formato dal quadrante positivo il cui contorno sia costituito, quindi, dalle 

 parti positive degli assi coordinati. Se su questo contorno fossero noti i 

 valori di u e della sua derivata normale, la formola che discende dal me- 

 todo di Riemann e che, per brevità, chiameremo, senz'altro, formola di 

 Riemann, è capace di risolvere la quistione in modo completo, di determi- 

 nare cioè, in ogni punto 0 = (x 0 , y 0 ) del campo, il corrispondente valore 



(') Vedi questi Rendiconti, sedute 31 maggio 1913 e 4 gennaio 1914. 

 ( 2 ) Vedi, p. es., Picard, Comptes rendus, voi. 117, 1893. 



