Similmente, facendo tendere y 0 a zero nelle (II), (II'), e ponendo f(x 0 ), 



!>u 0 



F(a; 0 ) per i limiti di u 0 e di — - , si trova 



89 OìIOySjj 



't\t\ , tf\ 



f{x 0 ) = g>(x 0 ) — F(x-) J 9 (x — x 0 ) dx 



+ (*T<%) + g>(y);£-. 



.'o | ox 0 _ 



!<>{}/ xl — y^dy, 



(IV) \ F(4 = 0>(a; 0 ) - ^ <K* 0 ) - /"(*,) 4" 9>W 



1 / I \ / /"Vi />' 



■ J o '''° [<%) + 9>é J ^ Jo (f^T 17 ?) ^ • 



Anche su queste equazioni possono ripetersi osservazioni analoghe alle pre- 

 cedenti. In definitiva, poi, le (IV) non possono essere che le (III) stesse 

 sotto un aspetto diverso. 



4. Se, in due qualunque delle (III), (IV), riteniamo che siano diverse 

 da zero soltanto quelle, delle nostre quattro funzioni /\F,g),tf>, rispetto 

 alle quali esse compaiono risolute, otteniamo una serie di equazioni inte- 

 grali del tipo di Volterra, con le corrispondenti formole di risoluzione. Tras- 

 curando di riportare quelle equazioni integrali che si possono ottenere da 

 quelle già scritte col semplice scambio delle funzioni I nelle corrispondenti 

 funzioni J, avremo: 



\ <p{yo) = ~x®(yì • d y - 



<%.) = - <f\y 0 ) + (%(y) dy ; 



\ -^o y yo 



y(yo) = f(yo) + ) y "f{x) -7- io (V yl — x*) dx 



^0 "i/o 



= pV^JIod^^)^, 

 i)yo ^0 



è) 



A*.) = sp(^o) + f%%) J o (l'^o -7) ^ 



