Per quanto il problema possa dirsi risoluto (salvo, s'intende, l'effettiva 

 integrazione dell'equazione detta) mi pare opportuno dare alla soluzione una 

 forma più geometrica: al che si riesce facilmente giovandosi dei risultati 

 recentemente acquisiti nella geometria proiettivo-differenziale degli iper- 

 spazio E precisamente mostrerò come si giunga, con considerazioni proiet- 

 tive, alla condizione necessaria e come si associ alla V„, in modo intrinseco 

 (cioè indipendente dalla rappresentazione di Gauss), un'equazione di Laplace : 

 dalla rigidità degli spazii generatori di V n dedurrò poi la condizione neces- 

 saria e sufficiente. Questa mette in luce un tipo di applicabilità che, indi- 

 pendentemente dal caso attuale, mi sembra offra interesse per una ricerca 

 di carattere generale. 



2. Per non interrompermi nel seguito, ricordo un teorema sulle varietà 

 V ft che con le coordinate proiettive omogenee dei loro punti xì(t 1 ,t 2 , ... 

 soddisfano ad uno o più gruppi di equazioni simultanee alle derivate par- 

 ziali, lineari ed omogenee, del tipo: 



CO , ~^QC . | ~~ò OC t 



«i -, 2 -r «2 - — — i r «» ■ 



+ ~èx . . !>x . 

 «ìft — - H \-a>u — h "io x = 0 , 



~ò^OC i ~tji^OC | I ~^0C . 



«i — — + «2 _ g H r «* -, -f- 



+ «2ft H h «21 + «20 OC = 0 , 



«i + «2 + ■ • • + a k ; r 



+ «ftft ~ H h a *i ~~ H~ ""o x = 0 



0*k o*i 



(ove i coefficienti sono funzioni delle t). Prescindendo da qualunque ipotesi 

 sull'essere le xi soluzioni di altre equazioni o meno, si dimostra (*) che: 

 Se una V ft rappresenta m « gruppi distinti di tali equazioni,, 

 essa è luogo di S m ed ammette lungo ognuno di essi lo stesso spazio tan- 

 gente fisso ( 2 ). 



(*) E. Bompiani, Sistemi di equazioni simultanee alle derivate parziali a carat- 

 teristica, Atti R. Accad. delle Scienze di Torino, voi. IL (1913-1914), nn. 9, 13. Se in- 

 vece di coordinate omogenee si adoperano coordinate non omogenee, le equazioni non 

 debbono contenere i termini in x (cioè a t0 = 0). 



( 2 ) Accenno al ragionamento semplicissimo che conduce al risultato nel caso di un 



