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3. Veniamo ora al nostro problema. 



Si abbia dunque una V„ in uno S„ +I euclideo: se si sceglie l'origine delle 

 coordinate sulla varietà, e l'iperpiano ivi tangente come quello di equazione 

 x„+i = 0, la V„ si rappresenta nell' intorno dell'origine, in coordinate non 

 omogenee, con l'equazione: 



x n+1 = F(xì , x 2 , ... , x n ) =?= \ 2 ilc c ik Xi x k j~ ■■■ , {i , k =: 1 , ... , n) 



ove 



Perchè la varietà sia deformabile nell' intorno dell'origine (') debbono an- 

 nullarsi tutti i minori del terz'ordine estratti dal determinante delle e ( 2 ) 



6*ii C\% • • • C\ n 



Cnl Cni • • • O nn 



sol gruppo di equazioni. Si consideri il punto x(r t , r a , ... , tk) (le cui coordinate omo- 

 genee Xi sono soluzioni delle equazioni scritte) e insieme ad esso il punto 



. ì% , ~òx , , ì>x 

 A = a, — + a a — -\ r a k~ 



iti dT a d*h 



(le cui coordinate si ottengono apponendo gli indici alla x). Mentre il punto x varia 

 sulla Vj, la retta xk descrive una varietà V che ha dimensione k 0 k -\- 1 secondo che 

 la xk è tutta contenuta in V& (e in tal caso V"= V*,) oppure no. Per decidere cerchiamo 

 la dimensione dello spazio tangente a V in un punto qualsiasi della retta xk. Esso, 

 come si riscontra subito, è determinato dai punti 



. ò_k JA DA 



quindi non dipende dal punto scelto sulla generatrice, ma solo da X, e coincide, in virtù 

 delle equazioni scritte, con lo S& tangente in x a V^.. Dunque V = V\ è rigata ed am- 

 mette uno Sfc tangente fisso per tutti i punti di una generatrice, c. d. d. 



Si noti che nella dimostrazione non è stato necessario derivare le equazioni date, e 

 che quindi il risultato vale per ogni singolo punto x per cui valgano quelle equazioni. 



(') F, Schur, loc. cit., pag. 345. 



(") Se fossero nulle tutte le e la V» sarebbe uno S», se fossero nulli tutt' i mi- 

 minori del 2° ordine la Y n sarebbe la (n-l)-esima sviluppabile di una curva: casi evi- 

 denti a priori. 



