— 131 - 



tesimali) che gli S M _ 2 si mantengono rigidi nella deformazione. Vogliamo 

 tradurre questa condizione in un'altra relativa alle superficie focali. 



Intanto è chiaro che con la V n si deformano queste V 2 lasciando co- 

 niugati i sistemi coniugati. Ma poiché gli S (l _ 2 rimangono rigidi, e questi 

 (per il num. prec.) sono osculatori ad un sistema di caratteristiche sii cia- 

 scuna V 2 , di queste caratteristiche rimangono inalterati nella deformazione 

 tutti gli elementi contenuti in uno S„_ 2 , cioè le prime n — 3 curvature. 

 E poiché in queste condizioni esiste etfettivamente una deformazione (finita o 

 infinitesima) della V„ (secondo che le V 2 focali sono deformabili in modo 

 finito o infinitesimo) ( l ) si ha: 



Condizione necessaria e sufficiente perchè la V„ costruita al numero 

 precedente sia deformabile, è che si possano deformare (in modo finito o 

 infinitesimo) le due V 2 focali (ciascuna (n — 2)-esima trasformata di 

 Laplace dell'altra) in modo che si conservino inalterate le prime n — 3 

 curvature delle caratteristiche a cui gli S„_ 2 di Y„ sono osculatori. 



Solo per (n = 3, cioè per) S 4 il problema di deformare, nel modo or- 

 dinario e simultaneamente, due superficie contigue in una successione di 

 Laplace coincide con la ricerca delle V 3 deformabili ( 2 ). 



La deformazione di una Y n avviene, quando sia possibile, deformando 

 le sviluppabili formate dagli S„_ 2 e lasciando questi inalterati: ma le 

 (n — 2)-esime sviluppabili di due curve non sono sovrapponibili con i loro 

 spazii generatori se le due curve non hanno le stesse prime n — 2 curvature 

 nei punti che verranno a sovrapporsi. Nel nostro caso questi spigoli di re- 

 gresso sono le caratteristiche (in un sistema) delle superficie focali : sicché, 

 mentre dal teorema precedente risulta necessario che dette caratteristiche 

 conservino nella deformazione le prime n — 3 curvature, esse conservano 

 effettivamente anche le (n — 2)-esime. 



Il problema che nasce nel caso più generale di deformare una super- 

 ficie lasciando inalterate certe curvature di un suo dato sistema di linee, 

 mi pare di per sé interessante: e mi propongo di ritornarvi altrove. 



6. Ogni V-, (v <[ n) contenuta in V n è deformabile. 



(') Analiticamente le condizioni si presentano in modo distinto: cfr. i due lavori 

 dello Sbrana. 



( a ) Cfr. Sbrana, loc. cit., a), § 19. 



Matematica. — Sulle equazioni integrali di prima specie del 

 tipo Fred ho Im. Nota del prof. C. Severini, presentata dal Socio 



S. PlNCHERLE. 



Questa Nota sarà pubblicata nel prossimo fascicolo. 



