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Matematica. — Sur certaines équations intègrales. Nota di 

 J. Soula, presentata dal Socio Y. Volterra. 



Cefcte Note est consacrée à l'étude de quelques équations de la forme : 



(1) {a, + F 0 ) K m (xy) + (a, + F,) K m -\xy) + • • • + 



+ {a n - x + ?m rì ) K{xy) + V m {xy) = 0 , 



où F 0 , Fj , ... , F m sont des fonctions données intégrables dans le champ des 

 variables réelles (a^-x<-b,a<.y<.b), où a 0 , a x ,...,a m - 1 sont des 



X X 



constantes, où K(xy) est la fonction inconnue, K. m (xy) la puissance com- 

 posée d'ordre m du noyau K(xy), où enfin les symboles tels que 



XX XX 



-f F m _,) K(xy) 



représentent le résultat de la composition de deuxième espèce : 



xx xx '■■ap. Hh 



(a m -i + F m _i) K (xy) = a m -i K(xy) -f F(xs) K{sy) ds . 



<J a i 



Ces équations ont été étudiées, dans certains cas, par MM. Lauricella et Vol- 

 terra ('). Je voudrais surtout montrer que les équations de la forme (l) 

 peuvent étre classées en catégories très différentes par la nature de leurs 

 solutions. 



1. Commencons par supposer f m {xy) égal à zèro et a m - x différent de 

 zero. L'équation peut s'écrire: 



K(*y) =- -~ (^(a») ds 



u>m—i J a 



avec 



N(*y) = U 0 + F,) K^(xy) -\ f- K( xy ) . 



Admettons que K(xy) soit une solution bien determinée de cette équa- 

 tion. En regardant y corame un paramètre fixe, on peut dire que ~K{xy) est 

 solution d'une équation de Fredbolm sans second membre de noyau N(cn/) 



pour la constante caractéristique — — - — . Le noyau N(cn/) est inconnu ; 



dm-i 



(') Lauricella, Atti della E. Accad. dei Lincei, 18 juin 1911 et 16 mars 1913; An- 

 nali di Matematica, octubre 1913. Volterra, Atti della E. Accad. dei Lincei, 23 avril 

 1911 et 27 juillet 1913; Lecons sur les fonctions de lignes, professées à la Sorbonne, 

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