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nous savons, cependant, qu'il ne peut admettre qu'im nombre fini de solu- 



tions fondamentales linéairement distinctes pour la constante — — - — . Je 

 désigne ces solntions fondamentales par 



ai(x) , a 2 (x) , ... , ajix) . 



La solution fondamentale K(xy) est une combinaison lineai re de celles-là, 

 dont les eoéflìcients peuvent dépendre du parauiètre y. K(xy) est donc de 

 la forme: 



(2) K(x//) = ai(x) hip) + a 2 (x) b 2 (y) -\ f- a n {x) b n {y) . 



2. Je me contenterai de ce résultat dans le cas general. 



Supposons les fouctions F 0 , Fi , ... , F m deux à deux permutables, et 

 ne chercbons que les fouctions K(xy) permutiibles à F 0 , F, , ... , F m . 



J'ai démontré (') que, dans ces conditions, a[(x) , à 2 {è) , ... , bi(y)\ 

 bn(y),..- sont des combinaisons linéaires des fouctions principales de Yi(scy): 

 et cela pour toutes les valeurs de i . 



Dans cette Note je n'étudierai qu'un cas particulier dont j'aurai besoin 

 tout à l'heure: le cas où les fonctions Yi{xy) sont des sommes de puissances 

 composées, d'un mème noyau G{xy) 



(3) Vi(xy) = e ti G(xy) + e it G 2 (xy) ^ (i = 0 , 1 , ... , m 1) , 



ces séries étant intégrables terme à terme; et encore je ne cliercherai pas 

 systématiquement toutes les solntions. 



1°) Soient (p(x) et ip(y) deux holutions fondamentales de G(ay) à 

 droite et à gauche, correspondant à une mème constante caractéristique de 

 G(xy), telles, de plus, que 



\ (f(x) ip(x) dx = \ , 



<J a 



ce qui exige que la constante caractéristique soit simple. 



y>(x) et ip(y) sont aussi solutions fondamentales de Fi(xy) et on a: 



(\ i (xs)<p{s)ds = ( ^ , \ b F i (sy)ip(s)ds= X ^ 



(«'==0,1, ... , m — 1 ) . 



Cberchons une solution de la forme ^ x ^ ^ & . On aura: 



A 



«*) <P(y) [(« + j-) £ + («, + i) ^ + -. + (« r , + JL) ì] =o 



(') Atti della E. Accad. dei Lincei, 16 février 1913. 



