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et il est toujours possible de choisir X pour qu'il en soit ainsi (si m^>\). 



(f{x) étant ainsi choisi, si on rempla9ait ip(y) par une fonction quel- 

 conque ip'(y) telle que 



f q>(s) ip'(s) ds = 1 , 



J a 



<p(x) ìp (y) gera ^ t 0U j 0Urs une so i u tion de (1); mais elle ne serait plus 



permutable à Fi(xy). 



2°) Supposons quii existe deux fonctions h(x) , l(y), telles que 



(4) C h(s) l(s) ds = l , Cg(xs) h(s) ds = f*G(sy) l(s) ds = 0 . 



J a J<x J a 



Ji(oc} /(''//) 



Ckerchons une solution de la forme — — : — — . On devra avoir: 



)%)[^ + I £r + --- + ^f i ] = o ) 



et on pourra trouver X vérifiaut cette condition. 



3°) Soient deux solutions K(ay) et K'(xy) de l'équation (1), telles 



que : 



XXXX XX XX 



KK' = K'K = 0. 



K -f- K' est alors solution de (1). Or les solutions déjà trouvées peuvent 

 étre supposées ortogonales deux à deux. 



On pourrait trouver de méme des solutions formées non plus exclusi- 

 sivement avec des solutions fondamentales, mais aussi avec des fonctions 

 principales. 



L'équation (1), quand les ^i(xy) ont la forme (3) et quand T? m (xy) 

 est nul et a m -i non nul, admet en général une infinite de solutions de 

 la forme (2), et n admet que des solutions de cette forme. 



3. Btudions maintenant l'équation: 



(5) («o + F 0 ) K m (xy) + (a, + F) K m ~ l (xy) -\ f- 



+ (1 + F«-i) K(#y) + ¥ m ( X y) = 0 , 



où le coefflcient Constant de K(xy) est différent de zero (nous le suppo- 

 sons égal ài) et où les fonctions F 0 , F, , ... sont des sommes de puissances 

 composées d'un mème noyau zQ(xy) 



X X 



¥i(xy) = e tl *G(xy) + e i2 s 2 (} 2 (xy) -\ (i = 0 , 1 , ... , m) . 



