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Supposons G(xy) borné; supposons aussi, quii existe une sèrie à rayon 

 de convergence infini, a coèfiìcients réels positifs 



A 1 * + A,**+--- + A M *"H 



tei le que 



\e in \<&n (i = 0,1 i ... 



On aura, alors, 



\e in G n (xy)\<A n d n , 



d étant un nombre positif fixe. 



Les fonctions Fi(xy), et aussi les séries 



fi{s) = en g + e i2 z ì -j \-e in s n -\ (i = 0 , 1 , ... , m) , 



sont des fonctions entières de g; de plus, E\(#j/) admet une serie majorante 

 indépendante de x et de y. 



Employons la métbode de M. Volterra sous la forme indiquée par 

 M. Lebesgue ( 1 ). Écrivons 1 équation obtenue en remplacant, dans (5), 

 zG(xy) par g, K(xy) par u et les opérations de composition par des pro- 

 duits. On obtient 



(6) (a. + f Q (g)) u m + + fM) a*" 1 + • • • + 



+ (l+f m - 1 (g))u+f m (g) = 0. 



La solution de cette équation algébrique en u, qui devient nulle pour 

 s = 0, peut étre considérée comme branche d'une fonction analytique non 

 uniforme de g, et peut étre deyeloppée en serie à rayon de convergence fini: 



(7) u = f(z) = c x s -f- o 2 g 2 -f- c 3 z 3 -\- ■ ■ - 



Les points singuliers de la fonction analytique f(g) seront désignés 

 par /?! , /f 2 , ... 



Considérons la serie: 



(8) F(4*y) = c,zG{xy) + c 2 g 2 G 2 (xy) + c 3 s 3 G z (xtj) -f • • • 



Elle peut definir une fonction analytique de g, ~F(g\xy). Ses coefficients 

 sont les produits des coefficients de mèrne rang de la serie (7) et de la sèrie 



(9) Qj(g\xy)=gG(xy) + z^\xy) + /&(xy) + • • • 



Cette dernière fonction, noyau résolvant de G(xy) a pour poles les constantes 

 caractéristiques de G(xy) : «, , a 2 , a 3 , ... 



On sait, d'aprés M. Hadamard que ¥(g\x,y), a pour points singuliers les 

 seuls points a, fa . 



(') Société raath. de Franco, tome XL, 1912. 



