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4. La fonction F(z\xy) n'est pas, en general, uniforme : mais on peut 

 obtenir une de ses déterminations par la formule de Parseval 



F(z\xy)=J c q(t\xtj)f(j)j, 



(C) étant un contour du pian de la variable complexe t qui laisse à l'exté- 



z 



rieur les points «, , « 2 , ... et qui entonre les points — et l'origine. Un 



Pi 



pareil contour existe toujours si z n'est pas un point d'affixe a,ft-. 



Transformons cette formule en remplacant Qj(t\xy) par l'expression 

 qu'en donne M. Predholm: 



oo 



dont le uumérateur et le dénominateur sont des fonctions entières de L. On 

 sait, de plus, que le numérateur admet une serie majorante dont les termes 



sont indépendants de x et de y. L expression ^ ^ ' est une fonction holo- 



morphe de t sur le contour (C) et dans une région annulaire entourant le 

 contour (z n'étant pas singulier). Son module admet une borne supérieure. 

 La serie 



X 



D„(a;y) 



Za tA(t) 



peut donc s'intégrer terme a terme. On a donc un résultat de la forme: 

 (10) F(z\xy)=J_? n U).D n (.ry); 



et cette dernière serie admet, pour une valeur déterminée de z, une serie 

 majorante dont les termes sont indépendants de x et de y. On peut donc 

 intégrer terme à terme en x et y la serie (10), et aussi les produits de 

 séries de la forme (10) obtenues de la méme manière. D'autre part, on 

 de'montre sans difficulté que les fonctions D n (xy) sont des sommes d'un 

 nombre fini de puissances compose'es de G(xy). 



On pourra conclure, de ces rèmarques que les puissances composées de 

 F(z\xy) défìni par l'équation (10) sont des fonctions analytiques de Z; que 

 F(z\xy) est permutable à G{xy) et aussi à tonte fonction bornée permu- 

 table à G(xy). 



5. Montrons, maintenant, que F(z\xy) vérifìe l'équation (5). Si on rem- 

 place FL(xy) par F(s\xy), le premier membre de l'équation (5) est d'après 



