— 137 — 



ee qui précède ime fonction analytique de ^. Si z est infe'rieur au rayon 

 de convergence de la serie (8), cette fonction est nulle; les calculs qui per- 

 mettront de la vérifìer, correspondent à ceux qui permettent de vérifìer que 

 la serie (7) est solution de l'éqnation (6). Si maintenant z prend une va- 

 leur quelconque, cette méme fonction analytique reste nulle. 



Il existe clone une solution de féquation (5) pour tonte valeur de z, 

 qui nest pas de la forme ai §j . 



6. Supposant que z n'est pas une de ces valeurs singulières, cherchons 

 les autres solutions de l'équation (5) permutables à Q(xy). 



On a vu qu'elles seront aussi permutables à la solution déjà obtenue, 

 ~F(a:y) . K(xy) étant une de ces solutions, posons: 



K(xy) = V(xy) + Q{xy) . 

 L'équation que vérifie ®{xy), est de la forme: 



xxxx xxxx 



(11) (a 0 + H 0 ) 4> m (xy) + {a, + H.) 4> m -\xy) + 1 ' + 



+ (l + H m _ 1 )O) X (^) = 0, 



où on a 



H 0 = P 0 ; H, = F, + m (a, + P 0 ) F ; 



XX XX rwyi ( /yyì 1 \ XXXX 



H, = F 8 + (»-l)(a I + F 1 )F + ^i^— ^(«.-f-F.) F 2 ; 



Ces fonctions Hj(#?/) peuvent donc étre developpées en séries réguliè- 

 rement convergentes, dont les termes sont des sommes de puissances com- 

 posée de Q(xy). Les considérations du paragraphe 2 sont donc applicables. 



Si z nest pas une valeur singulière J l'équation (5) admet en général 

 une infinité de solutions. Ces solutions s'obiiennent en ajoutant à T?(xy) 

 des fonctions de la forme 



a x (x) b x {y) + • • • + «!.(*) b Ày) i 



les a{x) et b(y) étant certaines eombinaisons linéaires des fonctions prin- 

 cipales de G(a;y). 



La méme raéthode peut étre appliquée au cas où les fonctions envi- 

 ragées dépendent non plus d'un seul noyau G(xy), mais de plusieurs fonctions 

 permutables ( x ). 



Si la constante « TO _, est nulle, le problème est de nature bien diffe- 

 rente; c'est ce que montrent les exemples traités par. M. Lauricella. 



(*) Lebesgue, loc. cit. 

 Rendiconti. 1914, Voi. XXHI, 1° Sem. 



19 



