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superficie applicabili, assegnata che sia la superficie 2 di rotolamento de- 

 scritta da un punto satellite, ovvero l'inviluppo 2' di rotolamento di una 

 sfera satellite, si equivalgono perfettamente. 



Ora, in geometria ellittica tra le sfere col centro in un punto 0 figura 

 il piano polare di 0 (che da 0 dista di un quadrante) ; e mentre 0 descrive 

 la superficie 2 di rotolamento, il suo piano polare inviluppa la superficie 2 t 

 polare di 0. 



Si vede quindi che, in geometria ellittica, i due problemi fondamen- 

 tali A) B) formulati nella Nota precedente, e distinti nel caso euclideo, ven- 

 gono qui a confondersi in un unico problema. 



Al contrario, in geometria iperbolica, i problemi fondamentali si scin- 

 dono in tre problemi distinti, corrispondentemente alla classificazione delle 

 sfere in tre specie, e cioè: sfere a centro reale (a distanza finita); sfere a 

 centro ideale o superficie geodeticamente parallele ad un piano; sfere con 

 centro all' infinito, od orisfere. 



Cos'i adunque, per la geometria ellittica, abbiamo un solo problema fon- 

 damentale di rotolamento: 



Problema a). — Data una qualunque superficie 2, trovare tutte le 

 coppie (S , S 0 ) di superficie applicabili, tali che, rotolando S 0 sopra S, un 

 conveniente punto 0, satellite di S 0 , descriva la superficie 2. 



In geometria iperbolica, invece, avremo tre problemi fondamentali di 

 rotolamento, dei quali il primo è il problema a) stesso, ora enunciato pel 

 caso ellittico. Quanto agli altri due, ove si osservi cbe ad ogni sfera a centro 

 ideale è parallelo geodeticamente un piano, si vede che possono formularsi 

 nel modo seguente: 



Problema /?). — Data una superficie 2 (nello spazio iperbolico), tro- 

 vare tutte le coppie (S , S 0 ) di superficie applicabili, tali che un piano n, 

 satellite di S,, nel rotolamento sopra S, inviluppi 2. 



Questo corrisponde al secondo problema, B), del caso euclideo. 



Il terzo problema, particolare allo spazio iperbolico, si enuncia: 



Problema y). — Data una superficie 2 (nello spazio iperbolico), tro- 

 vare tutte le coppie (S , S 0 ) di superficie applicabili, tali che un'orisfera 



0 satellite di S 0 , nel rotolamento sopra S, inviluppi 2. 



Dimostreremo che ciascuno di questi problemi ammette infinite solu- 

 zioni, la cui ricerca dipende dall' integrazione di un'equazione a derivate 

 parziali del 2° ordine, che si può facilmente costruire procedendo come nel 

 caso euclideo. 



2. Per le considerazioni stesse svolte ai nn. 1, 2 della Nota precedente, 



1 problemi enunciati si riconducono alla questione seguente: 



Sopra ogni normale alla superficie data 2, si domanda di riportare un 

 segmento variabile w = w(u , v) (indicando con u , v le coordinate curvi- 

 linee sopra 2), in modo che la superficie S luogo degli estremi dei segmenti w, 



