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ammetta una superficie applicabile S 0 , per la quale si verifichino queste 

 proprietà : 



l a ) nel caso a), sia w la distanza del punto (u , v) di S 0 da un 

 punto fisso; 



2 a ) nel caso /S), w rappresenti la distanza del punto (u , v) di S 0 da 

 un piano fisso; 



3 a ) nel caso y), la stessa w dia la distanza del punto (u , v) mobile 

 su S 0 da un'orisfera fissa. 



Dopo ciò, per costruire l' indicata equazione a derivato parziali, proce- 

 diamo come segue: Riferiamo la superficie data 2 alle sue linee di curva- 

 tura (u , y), e sia 



ds 2 = ~ftdu 2 -\-Gdv 2 



l'elemento lineare di 2. e indichino — , — le curvature principali (vi- 

 ti Q* 



dotte) ( l ), talché E , G , — , — sono funzioni note di u , v . Inoltre, per sem- 



plificare, indicando con K 0 la curvatura dello spazio, supporremo 



K 0 = -f~ 1 ( ne l easo ellittico), 

 K 0 = — 1 (nel caso iperbolico). 



Riportando sulle normali di 2 i segmenti w, la superficie S (luogo 

 degli estremi ) ha un elemento lineare dsi , che si calcola subito colla 

 formola 



(1) ds\ = E ^cos w -f- — \ du 2 -f- G ( cos w -|- — - — j dv 2 -f- dw % 



(per K 0 = + 1) , 



ovvero 



(1*) ds\ = E (cosh w -f — du* + G (cosh w + ^™Jdv?+dw 2 



(per K 0 = -l). 



Ora separiamo la trattazione dei diversi casi, cominciando dal 



Caso a). Qui dovrà esistere una deformata S 0 della S, per la quale w 

 rappresenti la distanza del punto (u , v) da un punto fisso 0 nello spazio. 

 Se riferiamo lo S 0 a coordinate polari (w ,«,/?) col centro in 0 (w = o), 

 per l'elemento lineare ds 0 avremo ( 2 ) 



(2) ds 2 0 = sen 2 w (da 2 -\- seri 2 ad fi 2 ) -\- dw 2 (per K 0 = -f-l), 

 (2*) ds 2 0 = senh 2 w(da 2 -f sen 2 « d§ 2 ) + dio 2 (per K 0 «= — 1). 



(') Vedansi le mie Lesioni, voi. I, § 215. 

 ( a ) Vedansi le mie Lezioni, voi. I, § 186. 



