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Poiché dobbiamo avere dsl = ds 2 , confrontando colle (1) (1*) risulta 

 E (coi w -f ~y du 2 -f- G (cot + dy 2 = da 2 + sen 2 « rf/S 2 



(K 0 = + l), 



E ^coth w 4- du 2 + G ^coth tv + ^-J* dy 2 = da 2 -f sen 2 « a^ 2 



(K 0 = -l): 



onde la condizione necessaria e sufficiente è che ^ sia una tale funzione 

 di u , y, da rendere la curvatura delle forme differenziali, nei primi membri, 

 == -f- 1. Dunque : 



L'equazione a derivate parziali del 2° ordine per w, da cui dipende 

 la risoluzione del problema a), si forma scrivendo che hanno curvatura 

 = -|- 1 le forme differenziali : 



(3) E^cot^-j--^^ du 2 -\- G ^cot w -f- ~j dv 2 nel caso ellittico, 

 (3*) E ^coth w -f- du 2 -f- G ^coth w -f- caso iperbol 



ICO. 



Caso /?). In questo secondo caso, aé sarà la distanza del punto 

 di S 0 da un piano fisso (w = 0) ; e l'elemento lineare di S 0 si potrà porre 

 sotto la forma iperbolica 



(4) ds 2 0 = cosh 2 w(t/a 2 -(- senhV ^/? 2 ) -4- dw 2 , 



essendo m> = 0 il piano fisso, ed a , § un sistema di coordinate geodetiche 

 su questo piano. Confrontando con (1*), abbiamo 



E ^ + Miey ^ + G ^ + M^y dv * = rfa . + senh2a d[} * f 



onde la forma differenziale a sinistra dovrà avere la curvatura = — 1, come 

 quella a destra. 



Dunque: L'equazione a derivate parziali caratteristica per w nel 

 caso /?), si forma scrivendo che è — — 1 la curvatura della forma dif- 

 ferenziale 



(5) e (i + du 2 + g ( i + -^y dv 2 . 



Caso y). Significando qui w la distanza del punto (u , v) di S 0 da 

 un'orisfera fissa [io = 0), potremo dare all'elemento lineare dello spazio la 

 forma parabolica 



(6) ds 2 0 =À e 2w {da 2 -f d§ 2 ) -f dw 2 ; 



