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e, dal paragone colla (1*), risulta 

 e~ w senh iv\ 2 



E ( e"™ cosh w 



?2 



+ G (e~ w cosh w + g "" Wsenb " , j 2 <fo 2 = «!a 2 + ^ 2 . 



Dunque : 



L'equazione a derivate parziali per io nella risoluzione del pro- 

 blema y) si forma scrivendo che è nulla la curvatura della forma dif- 

 ferenziale 



(7) E (e-™ cosh w + e ' W senh W J du 2 + 



; _ / , , e - * 0 senh w\ 2 , . 

 4- G \e-' w cosh w -j J t 



Abbiamo così provato che ciascuno dei problemi a) /?) y) ammette in- 

 finite soluzioni, corrispondenti biunivocamente alle soluzioni w della corri- 

 spondente equazione a derivate parziali. 



Scelta una tale soluzione ^c^ si conosce immediatamente la superficie S 

 d'appoggio; e la rotolante S 0 , unica e determinata, si ottiene integrando una 

 equazione di Riccati nei casi a) e /?) , e con sole quadrature nel caso y). 



3. Suppongasi che la superficie 2 (o l' inviluppo) di rotolamento, nei 

 problemi a) /?) y), sia un piano ovvero una sfera, che nel caso iperbolico 

 potrà appartenere ad una qualunque delle tre specie. Potremo prendere E=G, 

 ed inoltre avremo 



— = — = cost 0). 

 Qi m 



( J ) Nella geometria ellittica od iperbolica si ha un'altra notevole superficie con 

 raggi principali di curvatura costanti (non uguali), e cioè la superfìcie di Clifford, a 

 curvatura totale nulla. Qui si può prendere E = G=1, e si ha 



— — = — 1 nel caso ellittico ; — — = + 1 nel caso iperbolico. 



La risoluzione del problema a) per la superficie di Clifford, come superficie di rotola- 

 mento, dipende dalla riduzione dell'elemento lineare della sfera ordinaria alle forme di 

 Weingarten 



^cotw + ~^ du* +^cot w + dv* (per K 0 = -f- 1) , 



( coth w-\ ) du 2 + (coth w + — \ dv* (per K 0 = — 1) , 



ed equivale quindi a cercare tutte le superficie applicabili sopra una certa superficie di 

 rotazione nello spazio euclideo. 



