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Per quanto si è visto al numero precedente, il problema si cangia 

 nell'altro di trovare tutti i sistemi ortogonali isotermi sopra una superficie 

 a curvatura costante, problema che si sa risolvere completamente. Ma si 

 può spingere più in là la ricerca, seguendo un procedimento analogo a quello 

 dato dal Calò pel caso euclideo, e trovare in termini finiti tutte le coppie 

 (S , S 0 ) di superficie applicabili che risolvono il problema a), /?) o y) nel 

 caso di una superficie 1 di rotolamento, sferica. 



A questo scopo scriviamo prima le formole che dànno il passaggio dalle 

 coordinate geodetiche w,a,p nei rispettivi casi (2) . (2*) , (4) , ((i) alle 

 coordinate di Weierstrass 



Xq , X\ , Xi , X3 , 



legate dalla identità quadratica 



x\ + x\ + x\-\- x\ = 1 nel caso ellittico, 



0 dall'altra 



x\ — x\ — x\ — x\ = 1 nel caso iperbolico. 



Distinguiamo quattro casi corrispondenti alle forme geodetiche ora citate 

 dell'elemento lineare dso dello spazio: 



1° caso. Indicando con x la variabile complessa sulla sfera d'elemento 



lineare 



da 2 -j- sen 2 adp 2 



e con z 0 la coniugata, abbiamo 



(8) dsl = dio 2 + seB 2 w ^ ^ x 



(«o+l) 



2 > 



e per le formole che dànno le coordinate di Weierstrass, possiamo prendere 

 le seguenti: 



T + T 0 T T 



x Q — cos w , Xi = sen w . , x 2 = sen w 



(a) 



x z = sen 10 



Tr 0 + 1 ' ì(tt 0 + 1) ' 



TT 0 1 



zrr 0 + 1 



2° caso. Nel caso iperbolico, e per la forma geodetica ellittica (2*) 

 dell'elemento lineare dello spazio, abbiamo 



(8*) dsì = dw 2 + senh 2 ^ f Tfì • 



(tt 0 +1) 2 



per le corrispondenti coordinate di Weierstrass valgono le formole 



(«*) 



x 0 = cosh 10 , Xi = senh w % \ , x 2 = senh tv 



1 



x z = senh uo — . 



rr, + 1 



