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Ora si ha, per ipotesi, 



tisi = ds* , w = w -{- a (dìo = dw) , 



indi 



n . seu i (w -f- a) di dr 0 dx dr 0 



{ ' sen% (1 -\-tt 0 ) 2 ~ (1 -f- ttqY ' 



Di qui segue che % deve essere funzione di t (ovvero della coniugata), 

 nel senso di funzione di variabile complessa, poniamo 



* = f( T ) > *o = A( T o) • 



Indicando con accenti le derivate, la (10) ci dà 



f f _f_ \ 



cos a 4- sen a cot *e = . — — , 



l//Yo'(^o+l) 



ossia 



COt 10 = /A + l - 008^^(^0 + 1) , 



sen a f//7o ( TT o + 1) 



Se adunque poniamo 



(li) &=V(ffo + 1) 2 + /7ó'(**„ + i) 2 - 2 cos « j/7t*(tt 0 + 1) (ffo + 1) , 



avremo 



eoe ^ _ / A + 1 - cos « j/rZ? (r 2 0 + 1 ) . .. nw _ senaf'JrhvT.+ l) 

 eo^^^ + Deos^-t/T^^+l)^ sen - == sen.(// 0 + l) > 



Sostituendo nelle forinole («), e nelle analoghe, troviamo, in termini 

 finiti, tutte le coppie (S 0 , S) di superficie applicabili domandate, colle for- 

 inole seguenti : 



SO i 



x 3 



ff 0 + 1 — cos a t/f'f' n (z r 0 + 1 ) 

 Sì 



sen a f/ ' f '/'„ (x -f- t 0 ) 

 Sì 



sen a f/ f'fj (x — r 0 ) 



sen a j/ /7 0 ' (t t 0 — 1 ) 

 Sì 



