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Per P 12 2^.1 il genere lineare j9 u) -> 1 (mentre si può ritenere — 

 com'è noto — p (1) <-0 per le rigate, cioè per P 12 = Q). 



Ad ogni valore del genere lineare p a) >• 1 corrisponde un numero finito 

 di famiglie di superficie. 



Per p< l) = l si ha un'infinità numerabile di famiglie in cui entrano 

 due interi arbitrari; tali famiglie sono caratterizzate dal contenere un fascio 

 di curve ellittiche, salvo per p g = P 4 = 1 : in questo caso si hanno superficie 

 di generi geometrici, 



ft = Pi = P« = - =1, 



e di genere numerico, 



p a =l o p a = — 1 , 



dipendenti altresì da un intiero arbitrario (e da 19 o 3 moduli rispettiva- 

 mente) che non contengono, in generale, fasci di curve ellittiche. 



La costruzione e lo studio delle superficie con p a) = 1 (p g P 4 ={= 1) dà 

 luogo a sviluppi interessanti in ordine ai valori dei plurigeneri, alla base e 

 ai moduli. Questi sviluppi sono riferiti, per semplicità, al caso delle super- 

 ficie regolari (p a — p g ). Ma l'estensione al caso p a <ip g non presenta diffi- 

 coltà essenziali. 



2. Nella teoria delle superficie s' introducono, com' è noto, i seguenti 

 caratteri invarianti ('): 



a) il genere geometrico p g = Pi , ed i plurigeneri P 2 , P 3 , . . . ; 



b) il genere lineare (virtuale) p (1) ; 



e) il genere numerico (o aritmetico) p a . 

 La classificazione delle superficie secondo i valori dei plurigeneri con- 

 duce a considerare in ispecie il 12-genere, P 12 , e a distinguere i tre casi: 



Pl2 = 0 , P 12 — 1 , Pl2 >> 1 . 



La condizione 



P 12 = 0 (P 4= =P 6 = 0) 



caratterizza la famiglia delle superficie razionali e rigate ( 2 ). 



3. La condizione 



P 12 = l 



caratterizza le superficie possedenti una curva canonica o pluricanonica 

 d'ordine 0, sopra le quali (riferendosi ad un modello senza curve eccezionali) 

 ogni sistema di curve di genere (virtuale) n è di grado (virtuale) 



n = 2n — 2 . 



(') Cfr. F. Enriques, Introduzione alla geometria sopra le superficie algebriche, 

 in Memorie della Società italiana delle scienze (detta dei XL), 1896. 



( 2 ) Enriques, Sulle superficie algebriche di genere geometrico zero, in Kendiconti 

 Circolo Matematico di Palermo, 19U5. 



