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Il teorema sopra enunciato risulta dall'analisi delle differenti famiglie 

 di superficie con P 12 = 1 , che sono le seguenti: 



a) Per p a = — 1 , le superficie iperellittiche irregolari, cioè : 



a') le superficie iperellittiche di rango 1 (di Picard) caratteriz- 

 zate (') da 



Pa = — 1 , Pg = P< = 1 , 



e formanti un' infinità numerabile di famiglie (con 3 moduli) indipendenti 

 da un numero intero J, detto il divisore di codeste superficie ( 2 ); 



a") le superficie iperellittiche irregolari di rango r j> 1 che formano 

 7 famiglie di superficie ellittiche 



(r=2,3,4,6) 



di determinante « = 2,4,3,9,4,8,6, classificate da Bagnerà - De Pranchis 

 e caratterizzate ( 3 ) mediante i valori dei plurigeneri che per esse sono uguali 

 a 0 e 1 . Si ha infatti, per codeste superficie, secondochè r = 2 , 3 , 4, 0 , un 

 primo plurigenere non nullo, P, = 1 , o P 3 = l, o P 4 = 1 , o P 6 = 1 , e 

 quindi, in ogni caso, 



P. 2 = l. 



b) Pol- 



pa = 0 , 



le superficie coi generi dispari nulli e coi generi pari uguali ad 1 , carat- 

 terizzate da 



j0o = P 3 =0, P 8 =Ì, 



e riducibili alla sestica che passa doppiamente per gli spigoli d'un tetraedro 

 (10 moduli) ( 4 ). 



c) Per 



Pa — 1 , 



le superficie con tutti i generi uguali ad 1 , caratterizzate da 



^ a =P, = l ( 5 ), 



(') Enriques, Sulla superficie algebriche che ammettono un gruppo continuo di 

 trasformazioni birazionali, in Rendiconti Circolo Matematico di Palermo, 1905. 



( a ) Cfr. p. es. Enriques-Severi, Mémoires sur les surfaces hyperelliptiques, in Acta 

 Math., tom. 32. 



( 3 ) Enriques-Severi, Intorno alle superficie iperellittiche irregolari, in Rendiconti 

 Accad. Lincei, 1908. 



(*) Enriques, Sopra le superficie algebriche di bigenere uno, in Memorie della 

 Società italiana delle scienze (detta dei XL), 1906. 



( 6 ) Enriques, Sui piani doppi di genere uno, in Memorie della Società italiana 

 delle Scienze (detta dei XL), 1896. 



