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le quali formano un'infinità numerabile di superficie dipendenti da un intero 

 tt = 2,3,... (e da 19 moduli per ciascuna famiglia) ( 1 ). 



Dimostriamo che, effettivamente, i tipi a) b) c) esauriscono tutte le 

 superficie con P 12 = 1 . 



A tale scopo si osservi anzitutto che, per P 12 =l, si hanno superficie 

 non appartenenti alla famiglia delle rigate, e perciò dovrà essere, intanto ( 2 ), 



cioè 



p a — —l, o p a = 0 , o p a = 1 . 



Ora vediamo che: 



a) Una superficie per cui p a — — 1 , avrà il genere geometrico p g — 0 

 o p g ^>0, e sarà una superficie ellittica. 



Pongasi p g = 0. Il calcolo dei plurigeneri delle superficie ellittiche di 

 genere p g = 0 conduce a P m )>l per m = 3 , 4 , ... , se P 2 ^> 0 ( 3 ). In questa 

 ipotesi si ha (almeno) una curva bicanonica C e una curva tricanonica K ; 

 e combinando linearmente 3 C e 2 K , si ottiene un fascio di curve sestica- 

 noniche : P 6 ^ 2 , e, a fortiori, P^ > 1 . 



Se invece si suppone il bigenere P 2 =0, si distinguono 4 categorie di 

 superficie ( 4 ) e per l'ultima è P 2 = 2 (P 12 >1). Le superficie delle tre 

 prime categorie h anno P 12 = 1 soltanto nel caso in cui contengano un fascio 

 ellittico di curve di genere n = 1 , cioè nel caso delle superficie (iperellit- 

 tiche) in cui le curve pluricanoniche sono d'ordine 0; per n > 1 risulta 

 sempre P 12 > 1 . 



Infine, per p a = — 1 , p g >> 0, l' ipotesi P ì2 = 1 porterà p g =l, P 4 = 1 • 



b) In secondo luogo si supponga 



p a = 0 , P 12 = l. 



Non può essere p g — 1 , perchè le condizioni p g = 1 e P 4 = 1 (conse- 

 guenza di P 12 = 1) portano p a — — 1 o jt>« = -f- 1 ( 5 ) e caratterizzano rispet- 



( l ) Cfr. Enriques, Le superficie di genere uno, in Rendiconti Accad. Bologna, 

 13 decembre 1908; Severi, Le superficie algebriche con curva canonica d'ordine zero, 

 in Atti Istituto Veneto, 10 gennaio 1909. 



( a ) Castelnuovo, Sulle superficie aventi il genere aritmetico negativo, in Rendiconti 

 Circolo Matematico di Palermo, 1905. 



( 3 j Cfr. Enriques, Sulle superficie algehriche di genere geometrico zero, in Rendi- 

 conti Circolo Matematico di Palermo, loc. cit. 



(*) loc. cit., § 9. 



( 5 ) Enriques, Intorno alle superficie algebriche di genere lineare p iJ) — 1", in 

 Rendiconti Accad. Bologna, 7 decembre 1906. 



