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tivamente le famiglie di superficie iperellittiche di Picard o di superfìcie 

 coi generi 1 sopra menzionate. Si avrà, dunque, 



Pa =P 9 = 0 



e P 2 > 0 , poiché le condizioni p a = P 2 = 0 caratterizzano le superficie 

 razionali (*) ; ma, essendo P i2 = 1 , si deduce P 2 = 1 , P 6 = 1 : quindi ( 2 ) 

 P 3 = 0 , e si ricade nel tipo della sestica sopra nominato. 



c) Finalmente, se p a =1 , la P 12 = 1 porta P 2 = 1, e quindi si hanno 

 superficie con tutti i generi uguali ad 1 . 

 4. La condizione 



P»>1 



caratterizza l'insieme delle superficie possedenti infinite curve canoniche o 

 pluricanoniche ; ma occorre distinguere due casi, secondochè il genere lineare 



> 1 



oppure 



p<» = 1. 



Le superfìcie per cui 



p (1) > 1 



avranno il genere 

 il bigenere 



P s > 2, 



il trigenere 



P 3 > 3p (1) — 2 >-4; 



e i sistemi canonici e pluricanonici saranno, in ogni caso, di grado > 0 . 

 Si deduce che: 



Ogni superficie di genere lineare p OÌ > 1 può essere trasformata 

 in una superficie (canonica o pluri canonie a), le cui sezioni piane o iper- 

 piane sono curve canoniche o pluricanoniche, superficie che ne porge un 

 modello invariante. 



La superficie i canonica riuscirà certo semplice per i assai grande. Ma, 

 se non si fà distinzione tra superficie semplici e multiple ( 3 ), si può aggiun- 

 gere che esiste sempre un modello costituito da una superficie Ucanonica 



(') Castelnuovo, Sulle superficie di genere zero, in Memorie della Società italiana 

 delle scienze (detta dei XL), 1896. 



( a ) Enriques, Sopra le superficie algebriche di bigenere uno, loc. cit. 



( 3 ) La determinazione dei casi in cui le superfìcie canoniche o bicanoniche ecc. si 

 riducano a superficie multiple, costituisce un problema, che sembra ammettere un piccolo 

 numero di soluzioni, e che additiamo all'attenzione degli studiosi. 



