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per ^> 3 , ed un modello costituito da una superficie tricanonica per 

 p w = 2,3 i 1 ). 



Invece per p a1 = 1 , P 12 > 1 , tutte le curve pluricanoniche sono com- 

 poste delle curve ellittiche d'un fascio^ sicché non conducono ad un modello 

 invariante della superficie. 



5. L'esistenza d'una superficie canonica o pluricanonica, modello inva- 

 riante delle superficie di genere lineare jo U) > 1 , porta una conseguenza 

 importante in ordine alla classificazione di queste. 



Per ogni valore di p U) > 1 , si hanno superficie canoniche di un ordine 

 dato jo a) — l , o superficie bicanoniche d'ordine 4 (p il) — 1), o tricanoniche 

 d'ordine 9(p a) — 1), a sezioni di genere parimente dato. Ora, se si tratta 

 di determinare le superficie d'un ordine dato, a sezioni di dato genere, cioè 

 con una curva doppia d'ordine dato, il problema, di natura algebrica, con- 

 durrà ad un numero finito di famiglie distinte ed irriducibili, ogni famiglia 

 essendo costituita da una serie continua di superficie e di classi proiettiva- 

 mente (e, quindi, birazionalmente) distinte. Vediamo dunque che, per p U) ^>l, 

 ad ogni valore del genere lineare p ix) corrisponde un numero finito di 

 famiglie di super fide J con caratteri interi distinti. 



Questa conclusione non sussiste più per p aì = 1 . Già, per Pi 2 = 1 , 

 le superficie iperellittiche (a , 1) e le superficie coi generi 1 (c) offrono serie 

 di famiglie dipendenti da un numero intero arbitrario. 



Si considerino ora in generale le superficie con p a1 =1 , P 12 J> 1 ; la 

 classificazione di queste superficie, che ci proponiamo di svolgere, condurrà 

 a riconoscere che esse formano una serie di famiglie in cui entrano due 

 numeri interi arbitrari. 



6. Abbiamo già notato che le superficie con ~P l2 ^> 1 , p in = 1, posseg- 

 gono un fascio di curve ellittiche ; lo stesso può dirsi delle superficie con 

 P 12 = 1 (per cui è sempre p w = 1), fatta eccezione delle superficie coi 

 generi geometrici 1 : 



Pg - Pl2 -— 1 ; (#, = — 1,-fl), 



cioè dalle superficie a) b) e c) del n. 3. 



Più precisamente : le superficie con P 12 >. 1 , p ilì = 1 , eccettuati i casi 

 corrispondenti a p g P n = l , ( p g = V 12 = 1), posseggono un fascio di curve 

 ellittiche di genere p g — p a , per p a >.Q, ed invece un fascio di curve 

 ellittiche di genere p g ed un secondo di genere 1 nel caso p a =^ ( 2 )- 



(') Alcune importanti diseguaglianze stabilite dal sig. A. Rosenblatt (Comptes rendus 

 e Bull. Acad. Cracovie, 1912), permettono di aggiungere che ;» s >3; e quindi esiste una 

 superficie canonica, appena p< lì sorpassa un certo limite. 



( a ) Cfr. Enriques, Intorno alle superficie algebriche di genere lineare = 1", in 

 Rendiconti Accad. Bologna, decembre 1906, 



Rendiconti. 1914, Voi. XXIII, 1° Sem. 



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