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Viceversa, le superfìcie con un fascio di curve ellittiche (non apparte- 

 nenti alla famiglia delle rigate) hanno P, 2 -> 1 , p (ì) = 1 e p g P 4 =(= 1 oppure 

 p g P 4 = 1 ; in quest'ultimo caso sono super /loie particolari coi generi geo- 

 metrici 1. 



Vogliamo ora classificare le superficie possedenti un fascio di curve 

 ellittiche C . 



Un primo carattere di tali superficie, che designeremo col nome di deter- 

 minante d di esse, è il minimo numero di punti in cui una curva K, non 

 composta colle C del fascio, incontra le C , cioè l'ordine del minimo gruppo 

 di punti costruibili sopra ogni G del fascio mediante operazioni razionali 

 ed operazioni irrazionali non dipendenti dal parametro delle C. 



Vi sono superficie di genere lineare p a) — 1 (p g Pi 2 =|= 1), per cui il 

 determinante ha un valore intero arbitrario : 



d= 1,2,3... 



Ciò risulta già dalla costruzione delle superficie di genere p a — — 1 . 

 Questi esempii provano che «l'ordine minimo d'un gruppo di punti, costruibile 

 sopra una curva ellittica non può generalmente essere abbassato al disotto 

 dell'ordine della curva, sema introdurre irrazionalità dipendenti dai coeffi- 

 cienti dell'equazione della curva » ( 1 ). 



Si possono costruire altri esempii di superficie per cui p ll> = 1, e d 

 assume un valore arbitrariamente alto. 



Si consideri p. es. un cono cubico P 3 e le sezioni di esso coi piani per 

 una retta a. Sopra una generica di queste cubiche si può determinare un 

 gruppo di 9 punti base per un fascio di curve d'ordine Sn con 9 punti rcpli 

 (fascio di Halphen); tale costruzione dipende dalla divisione dell'argomento 

 delle funzioni ellittiche appartenenti alla cubica, e perciò riesce razionale 

 rispetto al parametro del piano per a . Si deduce la costruzione razionale in 

 ogni piano, per a, di una curva d'ordine Sn con 9 punti wpli, variabili 

 su 9 rette distinte. 



Codesta curva descrive in generale una superficie non riducibile alla 

 famiglia delle rigate, per cui il genere lineare jt) (1> = 1 e il determinante 

 d = n. Si riconosce, infatti, che il determinante non può essere <[ n se il 

 fascio delle G 3n contiene (come avverrà generalmente) delle cubiche contate 

 n volte. 



7. Ad ogni superficie F d con un fascio di curve ellittiche G(p a) — 1), 

 di determinante d, si può far corrispondere una superficie di determi- 

 nante 1 la quale possegga un fascio {dello slesso genere) di curve bira- 

 zionalmente identiche alle C. 



(') Cfr. Enriques, Sulle superficie algebriche con un fascio di curve ellittiche, in 

 Eendiconti Accad. Lincei, 7 gennaio 1912. 



