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A tale scopo basta infatti costruire la superfìcie F' i cui punti corri- 

 spondono alle serie gl~ l appartenenti alle G di F d , codeste serie venendo 

 prese come « elementi » di una varietà co 2 . 



Tale costruzione è stata già indicata nella mia citata Nota Sulla su- 

 perficie algebriche con un fascio di curve ellittiche. 



Fra le superficio F d , F', intercede una corrispondenza algebrica [d , dj, 

 in cui si corrispondono le curve ellittiche birazionalmente identiche. 



Infatti si considerino su F d , F', due generiche eurve ellittiche omologhe 

 C , K , e : su F d una curva L secante la C in un gruppo G di d punti ; 

 su F' la curva L' unisecante K nel punto che rappresenta la gf" 1 di C , 

 definita da Gd . Se a questo punto di K si fa corrispondere uno, P, fra i d 

 punti di G d , resta determinata razionalmente fra K e C una corrispondenza 

 biunivoca, perchè ogni punto di C, associato al gruppo dei d — 1 punti 

 Gtd — Pi dà un gruppo di d punti, a cui corrisponde — per costruzione — 

 un punto di K. 



In tal guisa si hanno appunto ci corrispondenze biunivoche fra K , C , 

 le quali non possono essere razionalmente staccate al variare del parametro da 

 cui dipendono le curve K e C nei rispettivi fasci. Si ha dunque, fra K , C 

 e fra F' , F d , una corrispondenza algebrica [_d , d~] . 



Sono in generale curve di coincidenza di questa corrispondenza sulla 

 F' le curve K dotate d'un punto doppio; sulla F d sono parimente curve di 

 coincidenza le C dotate d'un punto doppio (corrispondenti alle nominate K), 

 ma anche le curve C che si riducono a curve ellittiche multiple, curve da 

 contarsi un certo numero s di volte, dove s è un divisore di d . Così restano 

 fissate anche le curve di diramazione della corrispondenza [d , d~\ fra F' , F d ; 

 e si possono quindi dedurre i caratteri della seconda superfìcie da quelli della 

 prima. 



Le superficie F', F d di genere lineare p il) = 1 hanno il medesimo inva- 

 riante di Zeuthen-Segre (corrispondendosi le C , K dotate di punto doppio), 

 e quindi il medesimo genere numerico p a ; esse hanno la stessa irregolarità 

 (che è, per p a ^> — 1, il genere del fascio di curve ellittiche), e perciò lo 

 stesso genere geometrico p g . Ma i loro plurigeneri non sono necessariamente 

 uguali. 



Consideriamo, per semplicità, il caso delle superfìcie regolari 



Pa = Pg=P- 



Sulla F' il sistema canonico è costituito dai gruppi di p — 1 curve 

 ellittiche K , senza parti fìsse : quindi 



P, = *•(]» — 1) + 1. 



Invece la F d potrà possedere delle curve ellittiche multiple secondo 

 numeri s (>• 1) divisori di ci; ed è facile verificare che ognuna di queste 



