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Per l' integrale di Riemann, sùbito si riconosce che esso si può ricavare 

 dalle sole condizioni I-V ('). Non già che ogni operazione definita dalle I-V 

 sia l'integrale di Riemann (perchè, come risulta da ciò che segue, le I-V 

 definiscono un'operazione più generale); ma dalle I-V si ricava un'operazione 

 tale che nel campo Riemanniano (cioè per le funzioni integrabili R) coin- 

 cide con l' integrale di Riemann. Ora, poiché il teorema di Arzelà afferma 

 che « ogni volta che la funzione limite è integrabile R, la formula (1) è 

 verificata » , ciò basta per dedurre che nel campo Riemanniano la parte /S) 

 della VI dipende dalle altre. 



Per altro, essa potrebbe essere necessaria a definire l'integrale di 

 Lebesgue. 



Lebesgue fa risalire la teoria dell'integrazione alla teoria della misura ; 

 noi seguiremo per brevità la stessa via. 



Si dimostra, infatti, in base alle prime cinque condizioni, che il 

 problema dell' integrazione di una funzione qualunque è risoluto quando si 

 sa integrare una funzione che assume il valore 1 nei punti di un insieme E 

 e il valore 0 nei punti dell' insieme complementare : F integrale di una tale 

 funzione essendo definito come la misura dell'insieme E. 



Ora i postulati dell' integrazione, tradotti in postulati della misura, 

 dicono : 



I. La misura della somma di due insiemi non aventi punti in comune 

 è uguale alla somma delle misure. 



II. La misura di un insieme è sempre >. 0. 



III. Trasportando rigidamente un insieme, la sua misura resta inal- 

 terata. 



IV. La misura di un intervallo è uguale alla sua lunghezza. 

 L'ultimo postulato, equivalente alla parte /?) dell'ultimo postulato del- 

 l' integrale, è il seguente : 



L'insieme somma di un'infinità numerabile di insiemi (misurabili), 

 ha per misura la somma delle misure. 



( l ) Infatti, possiamo dire brevemente così: Data la funzione f(x) e considerato l'in- 

 tervallo d' integrazione (a , b) diviso in tanti intervalli parziali, la proprietà IV ci dice 

 che l'integrale di f(x) in (a,b) sarà uguale alla somma degli integrali nei singoli inter- 

 valli. Ora integrando in ciascuno di questi intervalli invece della f(x), una volta il limite 

 superiore, una volta il limite inferiore, per la proprietà II, l'integrale di f(x) deve essere 

 compreso fra questi altri due integrali : questi essendo definiti dalla proprietà V. 



Facendo variare in un modo qualunque la ripartizione di (a , b) il valore dell'integrale 

 relativo al limite superiore di f{x) varierà in modo da mantenersi sempre superiore a 

 quello di f(x), e l'integrale relativo al limite inferiore varierà invece in modo da man- 

 tenersi sempre inferiore a quello di f(x). È chiaro che se il limite inferiore dell'inte- 

 grale relativo al limite superiore di f(x) è uguale al limite superiore dell'integrale re- 

 lativo al limite inferiore di f(x), questo limite comune sarà l'integrale di f(x). È la 

 stessa condizione d'integrabilità Riemanniana. 



