— 216 — 



Allora la ricerca è ridotta a quella di vedere se ogni misura co- 

 struita in base ai primi quattro postulati, soddisfa necessariamente anche 

 l'ultimo, e se quindi coincide con la misura di Jordan per gli insiemi misu- 

 rabili J e con quella di Borel-Lebesgue per gli insiemi misurabili B, L. 



Le mie ricerche sono relative specialmente a questo punto. 



Consideriamo prima un insieme misurabile J. Le condizioni I e IV 

 affermano che « la misura della somma di un numero finito di intervalli 

 finiti senza punti in comune è uguale alla somma delle lunghezze*; e 

 dalla III si ottiene che « se un insieme è contenuto in un altro, la sua 

 misura non può essere maggiore della misura dell'altro ». 



Ciò basta per poter facilmente dedurre che la misura di un insieme 

 misurabile J è proprio la sua misura J. 



Per un insieme misurabile B la verifica non è ugualmente facile. Affron- 

 tando anzi il quesito in generale, come per gli insiemi misurabili J, non 

 mi è stato possibile risolverlo. Invece, prendendo a esaminare insiemi par- 

 ticolari (misurabili B) ho potuto ottenere (in base sempre ai primi quattro 

 postulati) una misura che coincide con quella di Borel-Lebesgue, quindi un 

 risultato che, se non è generale, è però sufficiente ad assicurare la dipendenza 

 della formula (1) nei casi più notevoli. 



Consideriamo V insieme dei numeri razionali R che è un insieme misu- 

 rabile B e di misura nulla e ad esso applichiamo convenientemente i primi 

 quattro postulati della misura. 



Dalle condizioni II e IV ricaviamo, chiamando M (R) questa misura, 



(2) M(R)> 1, 



se (0,1) è l'intervallo d'integrazione. 



Mediante una traslazione di ampiezza d incommensurabile coi numeri 



razionali, si possono trasportare i punti razionali - sopra i punti irrazio- 



nali--f-d, ottenendo un insieme il quale: 

 1 



a) avrà (in virtù della III) una misura uguale alla misura dell' in- 

 sieme dato ; 



b) sarà limitato nell' intervallo (ó , 1 -\- 6) : o meglio, se vogliamo 

 supporre il segmento (0,1) chiuso su sè stesso, si può dire che quelli tra 

 i punti di R che per la traslazione esorbitano dall'intervallo (0,1) [sareb- 

 bero i punti razionali compresi nell'intervallo (1 — <?,1)] vanno ad occupare 

 l' intervallo (0 , 0 -f- <$) rimasto vuoto, con che il nuovo insieme rimane an- 

 cora limitato nell'intervallo (0,1); 



c) non avrà nessun punto in comune con l' insieme primitivo (la 

 ragione è ovvia). 



