Ciò posto, sia Si l'insieme somma dei due insiemi, il quale sarà ancora 

 limitato, per quanto è stato detto, nell'intervallo (0,1). 

 Per la I, avremo : 



M(S 1 ) = 2M(R); 



e, con deduzioni analoghe a quelle per cui si è scritta la (2) , 



(3) 2 M (R) < : 1 . 



Questa costruzione di un insieme uguale all'insieme dato R si può 

 ripetere in un' infinità numerabile di modi differenti, prendendo V ampiezza 

 di traslazione ó uguale successivamente ai valori Si , ó 2 , S 3 , . . . , ciascuno 

 dei quali sia irrazionale e quindi incommensurabile coi numeri razionali ; 

 non solo ma bensì sia incommensurabile con tutti i valori ó di rango infe- 

 riore. Con ciò si viene a costruire un' infinità numerabile di insiemi R, , 

 R 2 , R 3 , . . . ciascuno dei quali gode della proprietà a), b), c) rispetto 

 all' insieme dato R e rispetto a tutti gli altri insiemi costruiti. 



Sia ora S„ l' insieme somma degli n insiemi R t , R 2 , R 3 , . . . R rt , il 

 quale sarà ancora limitato in (0 , 1). Si può scrivere la relazione analoga 

 alla (2) e alla (3): 



(4) M (R) • n <= 1 . 



Essendo questa formula vera per qualunque valore di n crescente deve 

 necessariamente essere 



(5) M (R) = 0 



Dunque, per l' insieme dei numeri razionali la misura Borel-Lebesgue 

 è definita dai primi quattro postulati, l'ultimo risultando quindi come con- 

 seguenza dei precedenti. 



Ma si può dire anche di più. 



Sia Sì un qualunque insieme numerabile di punti 



Si , e z , e 3 , . . . 



e indichiamo con d p , q la distanza di un qualunque elemento e p da un altro 

 qualunque elemento e q . Queste distanze sono tante quante sono le coppie 

 (e p ,e q ): quindi formano un insieme numerabile. Allora si può scegliere un 

 numero reale di diverso da ogni d p , q , e imprimere a Sì la traslazione 

 (anche questa volta operando sull'intervallo (0,1) considerato come chiuso su 

 sè stesso) ottenendo un insieme Sì' che soddisferà evidentemente alle con- 

 dizioni a) , b) e e). 



