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Chiamiamo ancora Si l'insieme somma di Sì con Sì'\ essendo anche 

 questo insieme numerabile, saranno numerabili anche le mutue distanze 

 d' p , q di due qualunque dei suoi elementi. 



Scegliendo un ó 2 diverso da ogni d' p , g e imprimendo a Si la trasla- 

 zione à 2 , si otterrà un insieme S[ che godrà anch' esso delle proprietà 

 a) , b) e e) rispetto all' insieme S, . Chiamiamo S 2 l' insieme somma di Si 

 con Si, e procediamo in modo analogo alla costruzione degli insiemi S 3 , S 4 . . . 



Avremo le formule : 



L'ultima di queste formule dimostra, anche in questo caso di un insieme 

 numerabile qualunque, che la misura è nulla e che coincide quindi con quella 

 di Borel-Lebesgue. 



Questo risultato, in virtù della I, si estende immediatamente anche 

 agli insiemi che sono complementari di insiemi numerabili. 



Onde, conchiudendo, si può dire: 



« La parte §) della condizione VI è dipendente dalle altre non solo 

 « tutte le volte che si tratta di integrale di Riemann, ma anche quando, 

 « fuori del campo Riemanniano, le funzioni da integrare hanno per insiemi 

 « associati (chiamando così quegli insiemi dalla cui misura discende l'in- 

 « tegrale) insiemi misurabili J, o insiemi numerabili, o insiemi comple- 

 « mentari di insiemi numerabili, essendo la misura di tali insiemi univo- 

 » camente definite dai primi quattro postulati ». 



Terminiamo citando, come esempio di integrale così definito, l'integrale 

 della funzione di Dirichlet che assume il valore 0 in tutti i punti irrazio- 

 nali e il valore 1 in tutti i punti razionali. 



M(S0 

 M(S 2 ) 



M (Sì) < 1 

 2M(£) < 1 

 2M(S,) = 4M(£) < 1 



M(S„) = 2*M(£) < 1 . 



