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Matematica. — Sulle equazioni integrali di 'prima specie 

 del tipo Fredholm. Nota I di Carlo Severini, presentata dal Socio 



S. PlNCHERLE. 



Profittando di alcune considerazioni, svolte in una mia recente Nota 

 si può, data un'equazione integrale di prima specie 



(1) rK(x,y)V{y)dy = f(x), 



J a 



in cui K(x ,y) ed f{x) sono funzioni note continue ( 2 ), e per la- quale esista 

 almeno una soluzione F(t/), sommabile insieme col suo quadrato, costruire 

 una funzione 



(2) • <D{x,g(x)), 



definita quasi da per tutto ( 3 ) nell'intervallo (a ,"#)', dipendente da una fun- 

 zione arbitraria g(x), sommabile insieme col suo quadrato, in modo che, co- 

 munque si assegni g(x), la (2) rappresenti una soluzione della (1), sommabile 

 insieme col suo quadrato, e che, inversamente, ogni soluzione così fatta sia 

 dalla (2) rappresentata per una conveniente scelta della g(x) medesima. 



Indicando con 



(3) Ai , X 2 , ... , A„ , ... 



la successione delle costanti del nucleo K(x , y), e con 



(4) 5Pi(a?) , g> 2 (x) , g>„(x) , ... 



(5) tyx{%), , ..tyfJjV) , ... , 



la successione delle coppie di funzioni ortogonali dello stesso nucleo, pel- 

 le quali risultano soddisfatte le equazioni coniugate, simultanee, 



(p(,x) = X f K(.x , y) xp{y) dy 



•■'a 



ip{x) = l j K(y , x) <p{y) dy ( J ) , 



(') Sulla teoria di chiusura dei sistemi di funzioni ortogonali, Rendiconti del 

 Circolo Matematico di Palermo, tomo XXXVI, 2° semestre 1913. 



( a ) L'ipotesi ohe le funzioni K(cc ,y) ed f(x) siano continue, potrebbe sostituirsi 

 con altre più generali. 



( 3 ) Dicendo quasi da per tutto, intendiamo, come si suole da vari autori, che pos^ 

 sano, al più, fare eccezione i punti di un insieme di misura nulla. Da tali insiemi si farà 

 generalmente astrazione, considerandosi come identiche due funzioni eguali quasi da per 

 tutto. In questo senso sono talvolta da riguardare le eguaglianze, che seguono nel testo. 



( 4 ) Cfr. E. Schmidt, Zur Theovie der linearen und nichtlinearen Integralgleichun- 

 gen, Mathematische Annalen, Bd. LXIII (1906), Heft. 4, pag. 461. 



Rendiconti. 1914, Voi. XXIII, 1° Sem. 30 



