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condizione necessaria e sufficiente, affinchè la soluzione della (1) sia unica, 

 è che sia chiuso il sistema delle funzioni ortogonali (5). In tal caso la (2) 

 risulta indipendente dalla g(x), e, per rappresentare l'unica soluzione, con- 

 viene in particolare porre g(%) = 0, con che la (2) assume la forma più 

 semplice. 



Della costruzione della (2), che può ben dirsi rappresenti la soluzione 

 generale dell'equazione (1), mi propougo di occuparmi in questa Nota. 



1. È noto ( 5 ) che, se il sistema delle funzioni ortogonali (4) è chiuso, 

 condizione necessaria e sufficiente, affinchè l'equazione (1) ammetta una 

 soluzione, sommabile insieme col suo quadrato, è che converga la serie 



(6) 2 n II a\ , a„ = f f{p) (p n {x) dx . 



J a 



È noto ancora ( 6 ), che, se il sistema delle funzioni ortogonali (4) non è 

 chiuso, affinchè l'equazione (1) ammetta una soluzione, sommabile insieme 

 col suo quadrato, è necessario e sufficiente che converga la serie (6), e che, 

 di più, si abbia: 



(7) f(x) = 2„ a n <p n (x) , a n = f f{x) (p n {x) dx . 



Delle due condizioni contemplate in quest'ultimo teorema, la seconda è una 

 conseguenza della prima, se il sistema delle funzioni ortogonali (4) è chiuso: 

 giacché, tenuto conto delle eguaglianze, 



(p n (x) K j~ K(x , y) ip n (y) dy 



(«=1,2, .,.) 



(/,„(#) = X n \ K(y , x) (f n {y) dy , 



J a 



dalla convergenza della (6) segue, per un noto teorema di Schmidt ( 7 ), la 

 convergenza assoluta ed uniforme della serie 2 n a n <p„(x), e quindi la (7) ( 8 ). 



Il primo teorema è pertanto contenuto nel secondo, del quale solo con- 

 viene che ci occupiamo. 



( s ) Cfr. E. Picard, Sur un théorème général relatif aux équations inlégrales de 

 première espèce et sur quelques problèmes de physique mathématique, Rendiconti del Cir- 

 colo Matematico di Palermo, tomo XXIX (1910), pag. 79, § 4. 



( 6 ) Cfr. 6. Lauricella, Sull'equazione integrale di prima specie, Rendiconti della 

 R. Accademia dei Lincei (Roma), voi. XVIII, ser. 5 a , 2° sem., fase. 3° (1909), § 2. 



(') Cfr. E. Schmidt, loc. cit. (*), § 2. 



( 8 ) Cfr. C. Severini, Sopra gli sviluppi in serie di funzioni ortogonali, Atti dell'Ac- 

 eademia Gioeraa di scienze naturali in Catania, serie V, voi. Ili (1910), Memoria XI, § 5. 



