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Posto che l'equazione (1) ammetta una soluzione F(^/), sommabile insieme 

 col suo quadrato, si ha ( 9 ): 



f{x) <fn{x) dx = K(x , y) F(y) y> n (x) dx dy (« = 1,2, ...) , 



e, per la seconda delle (8), 



K a» = f F(y) dy («=1,2, ...) , 



donde, coincidendo le quantità X n a n coi coefficienti di Fourier della ¥(y) 

 rispetto al sistema delle funzioni ortogonali (5), segue la convergenza della 

 serie (6). Inoltre, per un noto teorema di Schmidt ( 10 ), deve sussistere la (7). 

 Inversamente, poiché 



J~6 I m+p 12 m+p 

 a | m I m 



dalla convergenza della (6) si deduce che la successione 



m 



(9) S m {x) = T n K a„ («1 = 1,2, ...) 



i 



converge in media nell'intervallo (a , è), ed esiste quindi una funzione Fi(^), 

 sommabile insieme col suo quadrato, unica e ben determinata, se si eccet- 

 tuino i punti di un insieme di misura nulla, per la quale si ha: 



rb r~ m —12 



lim - J_ n K a n xp n {x) ete=-0( u ). 



m=oo J a I 1 | 



Se ne deduce, applicando la disuguaglianza di Schwarz: 



lim f K(x , y) pf|(y) — y„ K a» tp n (y)~\ dy = 0 , 



f K(x , y) F,(y) dy = Y n X n a n f K(# , y) ^»(y) dy , 



<Ja J a 



( 9 ) Cfr. E. Picard, loc. cit. ( 5 ), § 5. 

 ( ,0 ) Cfr. E. Schmidt, loc. cit. (*), § 16. 



(") Cfr. E. Fischer, Sur la convergence en moyenne, Comptes rendus hebdomadaines 

 des séances de l'Académie des scicnces (Paris), tome CXLIV, l er sern. 1907, pp. 1022-1024. 

 Cfr. anche H. Weyl, Ueber die Konvergenz von Reihen, die nack Orthoejonalfunktionen 

 fortschreiten, Mathematische Annalen, Bd. LXVII (1909), pp. 225-245; F. Riesz, Ueber 

 orthogonale Funfctionensy steme, Nachrichten von der Kgl. Gesellschaft der Wissenschaften 

 zu Gottingen, Mathematische-physikalische Klasse, Jahrgang, 1907, pp. 116-12-2. 



cioè 



