e, per le (8), 



K(x , y) Fi(y) dy = Y n d„ <p n {x) , 

 donde, se è verificata la (7),- risulta in fine: 



Kfc^JF^) dy = f(x). 



r 



J a 



2. Poiché, come è stato dianzi osservato, dalla convergenza della (6) 

 segue la convergenza assoluta ed uniforme della serie a n <p n {%), la con- 

 dizione espressa dalla (7) può sostituirsi coll'altra che sia 



lim 



m=ot> *s a 



cioè 



— m ~ 12 



f{x) — y„ a n <p n {x) dx = 0, 

 [f(x)J dx=Y n a\n. 



Si ha così il teorema: 



Affinchè l'equazione (1) ammetta una soluzione, sommabile insieme col 

 suo quadrato, è necessario e sufficiente che converga la serie (6), e che 

 la f(x) soddisfi all'equazione di chiusura del sistema delle funzioni orto- 

 gonali (4): 



(10) f [f(x)J dx =Y_ n a\ , a n = f f(x) g> n (x) dx . 



Ancora, se si ricorda ( 13 ) che la condizione espressa dalla (10) equivale 

 all'altra che si ahbia: 



(11) ( b f{x)6(x)dx = Q, 



J a 



per ogni soluzione effettiva delle equazioni integrali 



(12) f b 0{x) <p n {x) dx = 0 (n = 1 , 2 , ...), 

 può dirsi ( u ) : 



Condizione necessaria e sufficiente, affinchè l'equazione (1) ammetta 

 una soluzione, sommabile insieme col suo quadrato, è che converga la 

 serie (6), e risulti verificala la (11), 'per ogni soluzione effettiva delle 

 equazioni integrali (12). 



H Cfr. C. Severini, loc. cit, ( e ), § 3. 



C 3 ) Cfr. G. Lauricella, Sopra gli sviluppi in serie di funzioni ortogonali, Rendi- 

 conti del Circolo Matematico di Palermo, tomo XXIX, 1° sem. 1910, pp. 155-163, §§ 2. 3. 

 C u ) Cfr. G. Lauricella, loc. cit. ( 6 ), § 3. 



