3. Della soluzione F^x), alla quale, nelle ipotesi sopra dette, converge 

 in media la (9), può darsi una rappresentazione analitica, mediante la serie ( 15 ) 



(13) u^) + y, ru, +1 (x) - w^m . 



ove 



W = Z„ lj ~ f * +hV *Pn(x) dx (V = 1 , 2 , ...), 

 Arlt J x-hv 



e 



fili ' ' ■'' - ■ •' ^ u l' J fi i\k .,. / ■'" iu }'-, ' V ' '"7, *'"' 



è una successione, comunque scelta, di numeri positivi, decrescenti, tendenti 

 a zero. 



Inoltre, essendo g(x) una funzione qualsivoglia, sommabile insieme col 

 suo quadrato, la serie 



(15) G(s) = g(x) - Y^x) - J H [Y s+1 (x) - V,(*)] , 

 ove 



• ' .fi rx+h v rb 



Yv(x) = T M jf- tp n (x) dx , b n = \ g(x) ip„(x) dx , 



se non è (quasi da per tutto) eguale a zero nell' intervallo (a , b), rappre- 

 senta una soluzione effettiva delle equazioni integrali 



(16) f\{x) ip n (x) dx = 0 ( 16 ) (« = 1,2, ...), • 

 cioè dell'equazione 



(17) [\(z,y)rfa)dy = Q("), 



J a 



e, aggiunta alla F,(#), fornisce una nuova soluzione ~$ x {x) -j- G(x) della (1)- 

 Importa notare che la funzione Gt(x) non dipende dalla scelta della 



(14) , che cioè, considerando un'altra successione di numeri positivi, decre- 

 scenti, tendenti a zero, 



h\ , h% , ... , h. H ? >..» , 



e ponendo 



G'(x) = g(x) - Y[(x) - y, IY: +ì (x) - V,^)] , 



ove 



roc+n' v ■ rb 



'^(*> — Y'nlZTr tpn{x)dx , b' n = g{x) tp n (x) dx , 



óH.,Jx-h'^ J a 



( ,s ) Cfr. C. Severini, loc. cit. (*), § 5. 

 ( ,G ) Cfr. C. Severini, loe. cit. ('), § 9. 

 ( 17 ) Cfr. E. Schmidt, loc. cit. (*) § 16. 



