— 224 — 



risulta : 



G(#) = G f (.z} ( 18 ). 



Se g{x) è essa stessa una soluzione delle equazioni integrali (16), si ha: 



G{x) = g{x) , 



essendo allora: 



b n = 0 (n=l,2,...); 



ed infine, se il sistema delle funzioni ortogonali (5) è chiuso, nel qual caso 

 la (1) ammette un'unica soluzione, sommabile insieme col suo quadrato, ri- 

 sulta sempre: 



G(x) = 0 . 



All'equazione (1) soddisfa pertanto in ogni caso, comunque si scelga 

 9{x), la 



(18) F,(aO + G(«) f 



ed è evidente che così si ottengono tutte le soluzioni della (1), sommabili 

 insieme coi loro quadrati. 



La (18) rappresenta dunque la soluzione generale della (1), e si può 

 enunciare il seguente teorema: 



Quando sono soddisfatte le condizioni occorrenti, indicate nei teoremi 

 sopra enunciati (§§ 1 , 2), la soluzione generale dell' equazione (1) è rap- 

 presentata dalla serie 



(19) g(x) + W.O») + Y , [W v+1 (|t - W,(*)] , 

 ove 



a n = f f{x) <p n {x) dx , b n = f g{x) ip n (x) dx , 



g(x) essendo una funzione arbitraria, sommabile insieme col suo quadrato, 

 ed 



hi » h% , •.. , hs , ... 



successione, comunque scelta, di numeri positivi, decrescenti, tendenti 

 a zero ( 19 ). 



4. La (19) si semplifica, se la serie ^T n X n a n ip n (%) converge (quasi da 

 per tutto) nell'intervallo (a , b). Notevole è ii seguente corollario ( ?0 ): 



('») Cfr. C. Severini, loc. cit. («), § 5. 



( ,9 ) Cfr. G. Lauricella, Sopra alcune equazioni integrali, Eendiconti della E. Acca- 

 demia dei Lincei (Roma), voi. XVII, serie 5 a , 1° sem., fase. 12 (1908), § 6,. 

 ('<>) Cfr. G. Lauricella, loc. cit. 19), § 4,. 



