con n costante, intendendo per altro escluso il caso = 1, ove, come è ben 

 noto, le due superficie 2, 2 sarebbero congruenti. 



Ora sappiamo cbe q soddisfa all' 'equazione dell'applicabilità (*): 



(3) J ìQ — J 22 q = 1 + K(J lQ — 2q), 



dove i parametri differenziali e la curvatura K si riferiscono alla forma dif- 

 ferenziale (1). 



Scrivendo che q soddisfa, alla sua volta, alla medesima (3), abbiamo 



n 2 JzQ — n*J ti g = 1 -|- K(n 4 J \q — 2n*g), 



ed eliminando, colla (3), il J 22 q, col sopprimere il fattore non nullo 1 — n*, 

 resta l'equazione equivalente 



(3*) n*J t Q = 1 + n* — 2q n*K. 



Questa esprime la condizione necessaria e sufficiente cui deve soddisfare la 

 superfìcie 2, perchè esista una sua deformata 2 nelle condizioni del problema. 



Ora se, adottando le notazioni usate da Weingarten nelle sue ultime 

 ricerche sulla teoria dell'applicabilità, poniamo 



2g = 2q , 



e indichiamo con p la distanza algebrica dell'origine 0 dal piano tangente 

 a 2 nel puntò (u, y), con r x , r 2 i raggi principali di curvatura di 2, 

 abbiamo (Lesioni, loc. cit.) 



<<> j * = 2 -"{t + t) • K = 77^ 



onde la (3*) si traduce nell'equazione finale 

 1 n * 



(I) ^ r l r ì +p(r 1 + r,) — 2q = 0. 



Dunque: Le superficie 2 domandate sono tutte e sole le superficie 

 integrali della equazione del secondo ordine (I). 



Questa ha precisamente la forma d'Ampère, considerata nelle citate 

 ricerche di Weingarten, e corrisponde a porre 



la classe di superficie applicabili che ne deriva col metodo di Weingarten 

 è quella delle deformate delle quadriche di rotazione (a centro). 



{*) Vedi le mie Lezioni, voi. I, § 69. 



