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Non lascieremo di osservare che le superficie 2 così caratterizzate cor- 

 rispondono anche, secondo il teorema di Malus, ad un problema di ottica. 

 Supponiamo che i raggi emananti dal punto 0 si rifrangano attraversando 2, 

 secondo l'indice n di rifrazione; e si immaginino i raggi rifratti invariabil- 

 mente legati alla 2 nelle sue deformazioni. Quando 2 si applica sulla 2, 

 i raggi rifratti si concentrano nuovamente in un punto 0', ed è co- 



O'P 



stante = n il rapporto dei segmenti ^p-, al variare di P. 



2. Abbiasi una superficie 2 integrale della (I), e quindi una sua defor- 

 mata 2: e siano 



D du 2 -f 2D' du dv + D" dv 2 

 D du 2 + 2D' du dv + D" dv 2 



le due rispettive loro seconde forme fondamentali. Dalle formole delle Le- 

 zióni (§ 69), indicando con q xx , p 12 , £> 22 le derivate seconde covarianti di p, 

 abbiamo 



(5) D = - glL^- . D' = *»- F , D"= , 

 e le analoghe per 2 



(5*) p _ ^ g gii— E pr_ n 2 Qiì — F W — n ^ 22 ~ G 



\j/2g — n 2 Jig n^flq — n 2 J\q nf^g — n 2 J\Q 



In riguardo per altro alla realità di questa deformata 2, è da osser- 

 varsi che deve risultare positiva la quantità sotto il segno radicale nelle (5*), 

 cioè 



n 2 p 2 -f- (1 — n 2 ) 2q. 



Questo ha sempre luogo per n 2 <C 1, mentre per n 2 ^>\ una regione 

 soltanto di 2 troverà una corrispondente reale sopra 2. 

 Dalle (5) (5*) segue che 



D du 2 -f- 2 D' du dv -f W dv 2 



è una combinazione lineare delle due forme fondamentali di 2, cioè 



D du 2 + 2D' du dv -f- W dv 2 = «(E du 2 -f 2F du dv-{-G dv 2 ) + 



-f /?(D f/w 2 + 2D' du dv + D" dy 2 ) , 



ove 



n]/2Q — n 2 J,Q \/2g — n 2 /l x g 



Rendiconti. 1914, Voi. XXTII, 1° Sem. 37 



