Ne segue che l'equazione differenziale delle linee di curvatura. 



Edu + ~Edv Fdu +Gdy 

 Ddu-\-D'dv D'dv^-D"dv 



è la medesima per 2, 2; cioè: Sitile due superficie applicabili 2, 2 si 

 corrispondono le linee di curvatura. 



La circostanza ora osservata e noti teoremi generali (Lezioni, voi. II, 

 § 240 e § 393) dimostrano che sussiste la proprietà seguente : 



Le due superficie applicabili 2, 2 hanno rispettivamente a comune 

 l'immagine sferica delle linee di curvatura con due superfìcie a curva- 

 tura costante positiva, trasformate di Hazzidakis l una dell'altra. 



3. Le coppie di superficie applicabili 2,2 si sono già presentate nelle 

 mie ricerche del 1899 sulla inversione dei teoremi di Guichard per le de- 

 formate delle quadriche di rotazione ('), e le forinole che risultano da questa 

 teoria saranno invocate più oltre per provare l'esistenza di famiglie di Lamé 

 composte di superficie integrali della (I). 



Qui aggiungiamo alcune altre osservazioni, dalle quali risulterà meglio 

 il legame fra le attuali superficie 2 e le deformate delle quadriche di rota- 

 zione. In primo luogo dimostriamo: L'inversione per raggi vettori reciproci 

 col centro nel punto 0 cangia ogni superficie 2 integrale della (I) in 

 un'altra superficie integrale 2'. 



E infatti, se indichiamo cogli accenti le quantità relative a 2\ valgono 

 in generale le fbrmole 



colle quali la (I) si trasforma in sè stessa. 



Due tali superficie 2 , 2\ integrali della (I) ed inverse l'una dall'altra, 

 hanno rispettivamente a comune l'immagine sferica delle loro linee di cur- 

 vatura con due superficie S , S' colla (medesima) curvatura media costante. 



Ora si ha che : Le superficie a curvatura media costante S . S r possono 

 collocarsi nello spazio in guisa da formare le due falde di un inviluppo 

 di sfere di Guichard, coi centri distribuiti sopra una deformata <P di 

 una quadrica rotonda, i raggi delle sfere eguagliando la distanza' del 

 centro da un fuoco principale quando 4P si applica sulla quadrica ( 2 ). 



(') Cfr. particolarmente i §§ 24, 25 della mia Memoria Sulla teoria delle trasfor- 

 mazioni delle superficie a curvatura costante. Annali di matematica, serie 3 a , toMo III. 



( a ) Si noti che questa quadrica è un ellissoide allungato se w s > 1 ; è un iperboloide 

 a due falde, quando » 2 '<[1. 



