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Inoltre, se con P , P' indichiamo due punti qualunque [corrispondenti di 

 2,2' (allineati còn 0), la retta OPP' è parallela alla congiungente i due 

 punti corrispondenti di S , S', cioè alla normale alla deformata <t> della qua- 

 drica rotonda. 



Dopo ciò, se supponiamo data <2> , e quindi le due superficie S , S' a 

 curvatura media costante, ovvero le loro due parallele a curvatura costante 

 positiva, le superficie 2 , 2' sono perfettamente determinate (ciascuna a 

 meno di un'omotetia) dalla costruzione seguente: 



Dal centro 0 si conduca la parallela alla normale generica di Q> e 

 se ne stacchi un tale segmento OP = R che la superficie 2, luogo di P, 

 abbia la normale parallela a quella di S nel punto M corrispondente,, 

 ciò che determina (per quadrature) R a meno di un f attor costante. La 

 superficie 2 così ottenuta è un integrale della (I); e la sua reciproca 2', 



ottenuta staccando il segmento inverso OP' = — , ha le normali parallele 



ri 



alle corrispondenti di S'. 



Si vede adunque che le trasformazioni delle superficie a curvatura co- 

 stante positiva, date dalla inversione dei teoremi di Gruichard (Mem. cit.), 

 acquistano il più semplice significato per le superficie 2 integrali della (I), 

 venendo a coincidere colla inversione per raggi vettori reciproci. 



Un'altra osservazione importante è la seguente: Si sa che sulla defor- 

 mata (t> della quadrica rotonda Q alle linee di curvatura di (S , S') , (2 , 2') 

 corrispondono le linee del sistema coniugato permanente, cioè di quel sistema 

 coniugato di <P che si conserva coniugato sulla quadrica Q. Ne risulta il 

 teorema : 



Le prò j ezioni sferiche delle linee di curvatura di una superficie 2 

 integrale della (T), fatte dall'origine 0 sopranna sfera col centro in 0, 

 sono le immagini di Gauss del sistema coniugato permanente per una 

 deformata tf> della quadrica rotonda. 



4. Dalle deformate delle quadriche rotonde a centro passiamo a quelle 

 del paraboloide rotondo, sostituendo al problema A) del n. 1, che concerne 

 deformazioni finite, un problema analogo per deformazioni infinitesime: 



A*) Trovare le superfìcie 2 che ammettono una deformazione infi- 

 nitesima, per la quale le distanze di un punto fisso 0 nello spazio dai 

 punti di 2 vengono alterate in un rapporto costante (infinitamente pros- 

 simo all'unità). 



Indicando con óq la variazione di g , avremo 



óg = sg , 



con e costante infinitesima. Ne seguono le forinole 



Ó J 1 Q = 2s J t Q 



