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Variando la (3) n. 1, ne risulta, quale condizione necessaria e sufficiente , 

 J 2 q — 2J 2ì q = K(2 J,o — 2q) , 

 ovvero, combinando colla (3), l'equazione equivalente 



J?q — 2 — K . 2q . 



Questa, ricorrendo alle (4), si scrive sotto la forma 



(I*) n + r 2 = ^, 



P 



che corrisponde a fare, nella (I), n 2 = 1 (o, propriamente, n 2 = 1 -f- «). 



Vediamo adunque che : Le superficie 2 con deformazioni infinitesime 

 della specie richiesta sono tutte e sole le superficie integrali della (I*). 



In queste deformazioni infinitesime le linee di curvatura si conservano, 

 come si rileva sia dal considerare questo come un caso limite delle deforma- 

 zioni finite ai nn. 1 e 2, sia dal calcolare la variazione della seconda forma fon- 

 damentale di 2, che si compone linearmente colle due forme fondamentali. 

 Da un noto teorema di Weingarteu ( l ) segue, allora, che le attuali superficie 

 2 hanno per immagine sferica delle loro linee di curvatura un sistema iso- 

 termo, ossia hanno a comune con una superficie d'area minima l'imma- 

 gine sferica delle linee di curvatura. 



Tutte le proprietà che abbiamo descritte nei numeri precedenti per le 

 superficie 2 integrali della (I), valgono ancora per le superfìcie integrali 

 della (I*); ma soltanto le superficie a curvatura media costante S , S' sono 

 da sostituirsi, nel caso attuale, con superficie d'area minima : e la quadrica 

 rotonda a centro diventa ora il paraboloide rotondo. 



5. Delle proprietà che abbiamo riconosciuto nelle superficie integrali 

 della (I) e della (I*), la maggior parte è già contenuta nei miei citati 

 lavori del 1899. Qui vogliamo stabilire l'altra, notevole: 



Esistono famiglie di Lamé {appartenenti a sistemi tripli ortogonali) 

 costituite da superficie 2 integrali della (I) e della (I*); in queste si 

 può dare ad arbitrio una particolare superficie 2 ed una delle curve 

 traiettorie ortogonali della famiglia.. 



Trattando nel presente n.° il caso della equazione (I), dimostreremo 

 che le nuove famiglie di Lamé si ottengono applicando convenientemente 

 la trasformazione di Combescure alle famiglie di Lamé composte di super- 

 ficie a curvatura costante positiva. Questa curvatura potrebbe anche supporsi 

 variabile da superficie a superficie, arrivando al medesimo risultato; ma qui, 

 per abbreviare, considereremo solo il caso che la curvatura sia la stessa per 

 tutte, e la porremo =-}-!. 



(») Cfr. Lezioni, voi. II, § 227. 



