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In forza delle (a), questo è un sistema illimitatamente integrabile, 

 onde possono scegliersi ad arbitrio i valori iniziali di <P , A , M , W per 

 un sistema di valori iniziali di u , v , w. Il sistema (A) possiede inoltre 

 l' integrale quadratico 



A 2 -\-W — C<2> 2 + (C + 1) W 2 = cost; 



e noi intendiamo scelti i valori iniziali di (P , A , M , W per modo che la 



costante del secondo membro sia nulla ; sarà dunque, identicamente, 



(7) a 2 -\-w — C (p* ( c 4. i) w 2 = o. 



Dopo ciò, nella quaderna integrale (<2> , A , M , W) resteranno, a pre- 

 scindere da una costante moltiplicativa, due costanti arbitrarie. 



6. Ciò premesso, supposta scelta una quaderna integrale (<P , A , M , W) 

 di (A), e indicando con le coordinate di un punto nello spazio, 



poniamo 



( £ = ^X, -f-MX 2 + WX 3 



(8) V = AY, + MY 2 -f WY 3 



f f = AZ t + MZ 2 + WZ 3 , 



dove (XjYiZ!) , (X 2 Y 2 Z 2 ) , X 3 Y 3 Z 3 ) denotano i coseni delle tre dire- 

 zioni principali nel sistema triplo ortogonale (6) di Weingarten. 



Dimostreremo che: le formole (8) definiscono un sistema triplo orto- 

 gonale [trasformato di Gombescure del sistema (6) di Weingarten], nel 

 quale la famiglia w = cost è formata di superficie 2 integrali della (I) 



con c = 



1 — n r 



Derivando le (8), coll'aver riguardo alle (A) ed alle formole per le 

 derivate dei coseni, si trova 



l — = c(senh 0 4> — cosh 6 . W) . X, 

 / — == cfcoshfl 0> — senhfl W) X, 



= c — -o>- — . X 3 , 



\1)W I 



colle analoghe per >j, ne segue 



d£* -f d v 2 -f d£ 2 = c 2 j (senh 0 £> — cosh 0 W) 2 du 2 + 



1)6 . 7)W\ 2 



+ (cosh fld>- senh 0 W) 2 A; 2 + ( — <D - — V dw 2 . 



