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Queste forraole pongono in evidenza appunto che le (8) definiscono un 

 sistema triplo ortogonale, trasformato di Combescure del sistema (6) di 

 Weingarten. 



Ma di più, se calcoliamo i raggi principali q 2 di curvatura delle 

 superfìcie w = cost nel nuovo sistema, troviamo 



?1 = e (coth e® — W) , q, = c (tgb 60» — W) , 



e, quindi, 



«?,(>* + cW ( Ql + o 2 ) = c- 2 (<f> 2 - W 2 ) , 



ossia, per la (7), 



<?i <>, -h cW ( ?1 + ? 2 ) - e + M 2 + W 2 ) = 0 . 



Ma, dalle (8), abbiamo 



p = 2£X 3 = W , 2^ = ^ 2 = ^ 2 + M 2 + W 2 , 

 e la precedente si scrive quindi, 



Qi ? 2 + C P ÌQi + — o ■ 2(7 = 0 , 

 che combina colla (1) ove si faccia 



°~ l — n 2 * 



Così è provato quanto si voleva ; e, di più, dalla arbitrarietà sussistente 

 nei sistemi di Weingarten, facilmente si deduce che una superficie 2 della 

 famiglia w = cost può scegliersi ad arbitrio, e così pure può ad arbitrio 

 prescriversi una delle curve (w) trajettorie ortogonali. 



È manifesto poi dal n.° 3 che da un tale sistema triplo ortogonale (2) 

 se ne deduce subito un secondo (2') con una inversione per raggi vettori 

 reciproci rispetto all'origine. I due sistemi di Weingarten aventi a comune 

 le immagini sferiche con (2) , (2'), sono dedotti l'uno dall'altro con una delle 

 trasformazioni reali, studiate nella citata Memoria, che si compongono di 

 due trasformazioni di Bàcklund coniugate immaginane. 



7. Da ultimo vogliamo provare che anche con superficie 2 integrali 

 della (I*) si possono comporre famiglie di Lamé, e col medesimo grado di 

 generalità. 



Qui otterremo lo scopo, in modo molto più semplice, partendo da una 

 famiglia di sfere di raggio costante = 1. Consideriamo adunque ima sfera 

 mobile (di raggio =1), il cui centro percorra una curva arbitraria dello 

 spazio; e indichiamo con w un parametro che fissa la posizione del centro 

 sulla curva. Sopra una delle sfere segniamo, arbitrariamente, un sistema 

 doppio di linee (u , v) ortogonale ed isotermo. Si sa che le trajettorie orto- 



