Ma i generi geometrici si abbassano in corrispondenza a punti tripli 

 di K 2 „ infinitamente vicini ad 0, o a punti quadrupli di K 2n non vicini ad 0. 

 Quindi si possono avere per K 2i , le singolarità seguenti: 



oppure 



(r) 



\ un punto 4-plo distinto da 0, che porta 



/ V = Va = Vg — n U i 3 '■> 



zn 



tr = 1 , 2 , ... I o- 

 vicini ad 0, che portano 



P=Pa=. 



3 



\ punti tripli 



i infinitamente 



2 — g . 



Se la K 2)i possiede altre singolarità, il suo ordine può essere abbassato 

 con una trasformazione birazionale del piano. 



In conclusione: le superficie regolari con p (1) = 1 , p g F ì2 ^> 1, di de- 

 terminante 1, formano un'infinità numerabile di famiglie di piani doppi, 

 la cui curva di diramazione ha l'ordine minimo 



2» = 8 , 10, ... 



2n — 8~ 



2 



Ad ogni valore di n corrispondono 

 perfide, per cui 



V = Pa = Pg = n — 2 , » — 3 , ... n — 2 



P,= %-Ì) + l; 



-j- 2 famiglie di su- 

 2n — 3" 



vi sono due famiglie distinte per p — n — 3. 



Le famiglie suindicate si possono caratterizzare come segue: 



famiglia a): p = n = 2; piano doppio privo di curve eccezionali, 

 con curva di diramazione K 2n d'ordine 2n, dotata di punto (2n — 3) pio; 



famiglia §): p = n — 3; quadrica doppia priva di curve eccezio- 

 nali, con curva di diramazione, K 2n , d'ordine 2n , composta di una genera- 

 trice r e d' una curva K 2n _! d'ordine 2n — 1 , trisecante le generatrici 

 dell'altro sistema; 



famiglia y): 



P 



2 



a , a = 1 , 2 , ... 



~2n — 3^\ 



cono doppio, d'ordine a -J- 1 in S a +2 , privo di curve eccezionali, con curva 



di diramazione K 2 „ d'ordine 2n, trisecante le generatrici. 



9. È fàcile determinare la base delle superficie P' delle famiglie «), 



/?), y). Anzitutto osserviamo che, in generale non vi sono, nel fascio di 



