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Le superficie regolari di genere superfieiale p a =p g =p, e di genere 

 lineare p ll) (P^^O), contengono, in generale (*), 



M = 9^ — 2j0 n, -f- 12 + 0 

 moduli, dove, in ogni caso, 



0^0 . 



Ora, per le superficie a) si trova 



M = 8jo — 2p (1> + 9, (jt? a >=l) 



per le /?) 



M = 8jt> — 2p U) + 7 , 



per le y) 



M = 8jo — 2p (l> + (X + 9 . 



Accade dunque che nei casi a) §) e nel caso y) per o" 2, il nu- 



mero dei moduli da cui dipendono le superficie F r risulta inferiore a quello 

 che viene indicato dalla formula generale: 



La contraddizione apparente si risolve osservando che le superficie F' 

 appartengono ad una più ampia famiglia di superficie con p a) = 1, di 

 determinante 2 , aventi il medesimo genere p ; entro questa famiglia, le F f 

 si distinguono per una particolarità aritmetica che diminuisce il numero 

 dei moduli. 



Infatti, il piano doppio con ~K ìn di diramazione dotata d' un punto 

 (2n — 3)-plo, è un caso particolare del piano doppio con K 2 „ , di dirama- 

 zione dotata di un punto (2n — 4)-plo. I moduli di queste ultime superfici F 2 

 risultano 



M - 10» — 12 = 10p + 8, 



cioè 



«) M = lOp — 2p (1) + 10. 



Similmente, il piano doppio con K 2M di diramazione dotata d'un punto 

 (2n — 3)-plo e d'un punto 4-plo, è caso particolare del piano doppio con K ìn 

 di diramazione dotata d'un punto (2n — 4)-plo e d'un punto 4-plo, il quale 

 contiene 



M= 10» — 22 = 10p + 8, 



cioè 



fi) M== lOjo — 2^ (1) + 10 



moduli. 



Onde risulta che, nei casi a) e /S), 



M = lOp — 2p (1> + l()>9p — 2p a) + 12 



se 



P>1- 



(*) Enriques, Eendic. Acc. Lincei, giugno 1908. 



