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dei valori, che assume sopra la intersezione completa delle due varietà a 

 tre dimensioni 



(2) (x, -x x y + (Ti - Vl y = r* , (x 2 - x 2 y + (y 2 - y 2 ) = ri , 



R! , R 2 essendo costanti arbitrarie. 

 In formule, è 



1 f27T T27T 



(3) ! u(xi ,y y \x 2 ,y 2 ) = — \ ^(a;, +Ri cose, ,2/i4-R, sen0!| 



x 2 -)- R 2 cos 6 2 , y 2 -\- R 2 sen tì 2 ) dO x dtì 2 . 



E, viceversa, ogni funzione u (x x ,y x \ x 2 , y 2 ), continua entro un certo campo 

 S a quattro dimensioni, che assuma, in ogni punto Xi , y x \ x 2 , y 2 di questo 

 campo, la media dei valori che assume sopra la intersezione completa di 

 due varietà (2), Rj , R 2 essendo costanti arbitrarie, è armonica tanto rispetto 

 alla coppia di variabili x x , ?/, , quanto rispetto alla coppia di variabili x 2 , y 2 . 



Ma una funzione armonica in x , y è la parte reale di una funzione 

 della variabile complessa x -\- iy: invece, la parte reale di una funzione 

 delle due variabili complesse X\ -f- iy\ , x 2 -)- iy 2 , non solo è armonica ri- 

 spetto ad ambedue le coppie di variabili x { , yi \ x 2 ,y 2 , [il che porta che 

 sono verificate le due equazioni (1) della prima orizzotale], ma soddisfa a 

 tutte e quattro le equazioni del sistema (1); onde il corollario precedente, 

 se dà una proprietà di questo sistema, non dà tuttavia una proprietà carat- 

 teristica del sistema stesso. 



2. È notevole che una tale proprietà caratteristica si ottiene, associando 

 alla condizione espressa dalla (3)i la quale porta sulla media dei valori di 

 u sulle varietà (2), due condizioni che esprimono ancora proprietà delle 

 medie, convenientemente ponderate, dei valori di u sempre sulle varietà me- 

 desime: e, propriamente, associando alla (3)! le due seguenti relazioni: 



u(xi -f- Ri cos ti ! , y 1 -|- Ri sen 6 l \x 2 -{- R 2 cos 0 2 , 



'0 ^0 



/ 2 -}- R2 seri 0 2 ) cos (0, — 6 2 ) dd y dd 2 = 0 , 



(3) 2 



27T f 271 



u(xx -f- Ri cos 0 , y x -{- Ri sen B x \ x 2 + R 2 cos 6 2 , 



0 ^0 



y 2 -f- R2 sen 6 2 ) sen (0 l — 6 2 ) dO x dd 2 = 0 . 



Sussistono invero le due proposizioni seguenti, detto (3) il sistema for- 

 mato dalle (3), e (3) 2 : 



I. Ogni funzione continua entro un certo campo S a quattro dimen- 

 sioni, che verifica ivi al sistema (3), è un integrale regolare (*) di (1). 



(') cioè continuo e limitato, colle derivate dei primi due ordini continue e limitate. 



