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da cui segue, integrando rispetto ad r x da 0 a B! , e rispetto ad r 2 da 0 

 ad R i? e dividendo per Bi B 2 , 



u(x x .y x ,x 2ì y») = ■ L p2 f f u(x x + B, cos 6 X , y, + Bi sen 0! | 

 %ì + ?*2 cos 0 2 , 2/ 2 + B 2 sen 0 2 ) , 



tfi essendo, nel piano delle variabili x x , y x , l'area del cerchio che ha centro 

 in x x ,y x e raggio Bi , ecc. — Questa formula rappresenta una seconda 

 forma, in cui può esser posto il teorema della media. Analoga trasforma- 

 zione può farsi per le altre due (3)i . 



Vale ancora la pena di osservare che teoremi di media ponderata, ana- 

 loghi a quelli espressi dalle (3) 2 , si hanno tutte le volte che si sostituiscono 

 le equazioni del secondo rigo di (1) con altre simili equazioni lineari a coeffi- 

 cienti costanti nelle u e nelle derivate. Al variare di queste equazioni, va- 

 riano le funzioni che danno il peso. 



Osservazione 2 a . 



6. È assai facile di vedere che l'ipotesi della continuità per la funzione u 

 relativamente alla dimostrazione della prima proposizione è troppo restrittiva. 

 Tenendo presente le citate Note dei prof. Levi, Tonelli, Vitali, si riconosce, 

 a prima vista, che ad essa può sostituirsi un'ipotesi assai più larga e che 

 consiste nel ripetere, per ambedue le coppie di variabili x x , y x \ x 2 , y 2 , le 

 le condizioni che gli autori sopra citati pongono per ciascuna delle due 

 coppie stesse. 



Osservazione 3 a . 



7. Credo opportuno, terminando, richiamare l'attenzione sopra il fatto 

 che ogni teorema della media, in sostanza, porta ad una notevole proprietà 

 dello sviluppo di Fourier. Consideriamo, per es. , una funzione u armonica 

 nelle due variabili x ed y : supposto che r , 0 denotino un sistema di coor- 

 dinate polari col polo in x , y lo sviluppo sopra accennato dà 



u(x -j- r cos 0 , y -f- r sen 0) = 



= A 0 + r (Ai cos 0 {- A 2 sen 0) -\-r 2 (B x eos 2 0 -J- B 2 sen 2 0) + . . . ; 



le k r , B r essendo funzioni di x , y. Segue, calcolando i coefficient, di Fourier, 

 e tenendo presente il significato delle A e delle B : 



u(x , y) = jr— u(x -j- B cos 0 , y r sen 0) dO , 



iiTC J 0 



~òu(x , y) 1 farc 



~ìx 2ttB J 0 



u(x -}- R cos 0 , y -f- B sen 0) cos 0 dd , .. ecc. 



formolo valide, qualunque sia B al secondo membro. 

 Eendiconti. 1914, Voi. XXIII, 1° Sem. 



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